יקיר אהרונוב והפורמליזם הדו-וקטורי

Credit: Prof. Mohammed Sanduk, University of Surrey.

א.

איש היה בבגדד ולו בן מצליח בכל מעשיו. חשש לו האב מפני עין-הרע. מילא אוניה בתמרים ושלח אותו הרחק דרומה על החידקל למכור אותם בבצרה, עיר התמרים, שם יפסיד כסף רב ויחדל לעורר קנאה.

אותו יום היה מלך בצרה סר וזעף אחרי שאיבד טבעת יהלום בהתהלכו על שפת הנהר. עוד עבדיו מחפשים אותה בחולות הגדה נשא עיניו והנה אוניה נכנסת לנמל. מהיכן באה? סיפרו לו על הסוחר המוזר שבא למכור תמרים בבצרה. קצף המלך: מרגל שלח אלינו מלך בגדד! הַביאוהו אליי. עמד העלם לפניו. להתל בנו באת? הרעים המלך קולו. סיפר לו הבן על הוראת אביו ועל המזל המאיר לו תמיד פנים. אפילו אם אפזר עפר ברוח, הצטדק, מרים לתומו חופן מגדת הנהר, וכבר יצמיח אבנים יקרות. עודו זורה את החול והנה ברק יהלום הטבעת מנצנץ בין אצבעותיו. אשריך, אמר המלך, לך אמור לאביך שלא יחשוש ממתנות האל.

מזה יובל שנים אני מכיר את יקיר אהרונוב (כאן בציור של פרופ' מוחמד סנדוק יליד בגדד), ומעולם לא חדלתי מלהתפעל מיכולתו למצוא אבני-חן בכל חופן חול מעולם הטבע. כאן אפקט מפתיע חבוי בין חוקים ישנים, שם פרדוקס טורד מנוחה, עוד גֵדאנקֵן-אקספרימנט שנסיינים ימהרו להפוך לגֵמאכטֵן-אקספרימנט, ושוב מנצנץ ברק הבנה חדשה של רזי היקום. לא מכבר חגגנו לו 93. אתו חוגג יום הולדת גם בנו, שיקיר ורעייתו שתפו את הציבור בהיותו מתמודד נפש. נילי אהרונוב היא ממייסדות ארגון "עוצמה," העושה עבודה ברוכה למען אנשים אלה, וכולנו חייבים לה תודה על מסירות והקרבה של שנים רבות. 

איך לתמצת את תרומתו של יקיר לפיזיקה במאמר קצר? הנה מבוא לפורמליזם הד-וקטורי של תורת הקוונטים (The Two State-Vector Formalism [TSVF]). אל תיבהלו מהשם המסובך. הרעיון פשוט להפליא ופורה באותה מידה.

ב.

הפיזיקה הקלאסית, כזכור, הבטיחה כי בהינתן תנאי ההתחלה של תהליך כלשהו נוכל לנבא בדיוק את המשך התהליך עד סופו. בני-אדם ממהרים כידוע לנצל כל הבנה חדשה בפיזיקה כדי להרוג ביתר יעילות זה את זה, לכן הדוגמה המוכרת ביותר היא קליע התותח. אם נדע בדיוק את המיקום, הכיוון והמהירות בהן נפלט הקליע, נוכל לנבא את מסלולו, לאמור היכן יהיה בכל רגע, עד מקום הפגיעה. זוהי המחשה לעיקרון הדטרמיניזם (סיבתיות), יסוד המדע כולו.

עוד מאפיין של הפיזיקה הקלאסית הוא שנוכל לחשב את מסלולו של קליע זה אחורנית, מהסוף להתחלה: נכניס לחישוב את המיקום, הכיוון והמהירות של פגיעת הקליע במטרה ונשאל מה מקום ירייתו בעבר. או, פשוט יותר: נשגר אותו חזרה, בדיוק באותה מהירות וזווית. בשני המקרים, הן בחישוב העיוני והן בניסוי המעשי, ישוב הקליע בדיוק אל לוע התותח ממנו נפלט.

החישוב השני הוא אם כן מיותר למעשה, בהיותו רק מאשר את הראשון (כמו בדיקה של תרגיל חילוק ע"י כפל). הסימטריה בזמן היא צד נוסף של הדטרמיניזם הקלאסי. 

ג. 

באה תורת הקוונטים וקידמה את הפיזיקה למקומות שלא שוערו, והחילה את חוקיה גם על עולם האטומים והחלקיקים. אבל בתמורה תבעה מגבלה קשה וכואבת, דהיינו ויתור על הדטרמיניזם הזה, וגם על סימטריית-הזמן.

נחליף אם כן את קליע התותח בחלקיק, ונציב בחישוב את המיקום, הזווית והמהירות בה שוגר. הפעם נקבל לא מסלול אחד, אלא אינספור מסלולים המתפזרים לכל הכיוונים. לכל מסלול ולכל נקודה בסופו קיימת הסתברות כלשהי שהחלקיק יהיה עליו. יתקבל אם כן גל מתפשט.

הגל הזה אינו, כפי שקיוו רבים, רק הפשטה מתמטית, אלא תופעה פיזיקלית ניתנת למדידה. הנה איך: נימנע מלבדוק היכן בדיוק עבר החלקיק, וניתן לו לעבור דרך מחיצה עם שני סדקים, או אפילו אלף, רחוקים זה מזה. יתברר שמיקומו הסופי של החלקיק הושפע ממיקומו ומצורתו של כל אחד ואחד מהסדקים בהם יכול היה לעבור! נחדד: אם נסגור סדק אחד, יגיע החלקיק אל מיקום סופי קצת אחר, למרות שברור שלא עבר בסדק הסגור! ניתן אם כן לומר שהחלקיק הנפלט התפשט כגל לכל הכיוונים, עבר דרך כל הסדקים, עשה עקיפה והתאבכות כמו כל גל – אבל בסוף שב והתגלה כחלקיק בודד!

גם את הפיזיקה החדשה הזאת למדה האנושות לנצל לאינספור יישומים טכנולוגיים, אבל החידה בנוגע לחלקיקי/גלי החומר והאנרגיה נותרה בעינה.

ד.

בא אהרונוב ושאל שאלה מוזרה: אם מתנאי ההתחלה של חלקיק נקבל הרבה מסלולים אפשריים בכיוון העתיד, מה יהיה אם נחכה עד סוף התהליך? כלומר: נחכה ונגלה לאן הגיע החלקיק לבסוף, ואז נחשב את כל התהליך אחורנית, לכיוון העבר?

לכאורה זו שאלה בלתי-מעניינת, שלג דאשתקד: לשם מה לחשב מסלול אחורנית אל העבר כאשר העבר הזה הוא כבר עובדה מוגמרת וידועה? יתרה מזאת: החישוב הזה מוליד תוצאות עוד יותר אבסורדיות בנוגע לעבר, שכל אדם יבחין במופרכותן. נשוב לרגע אל דוגמת התותח, ונניח שמדובר בקליע קוונטי שנחת בסופו של דבר באחד המקומות האפשריים. אם נחשב עתה את מסלולו של הקליע לאחור, או בפשטות נשגר אותו חזרה בכיוון ההפוך, נקבל שוב גל מתפשט בכיוון ההפוך, ולכן נקבל לא רק את התותח המקורי כנקודת שיגור אפשרית, אלא גם נקודות אחרות, בלתי-סבירות בעליל, כמו אגם רחוק שאין בו שום תותח. החישוב הביא לנו אם כן "התחלה" הסותרת את מה שכבר ידוע מהעבר, כעובדה קיימת!

אבל אהרונוב עמד על כך שיש לבצע את שני החישובים. אם החישוב מההתחלה לסוף נותן רק מידע חלקי על העתיד, והחישוב ההפוך נותן מידע חלקי על העבר, עדיין, שני המידעים אינם חופפים – ולכן מוסיפים זה על זה! ואכן, כשחיבר את שתי התוצאות קיבל מסלול חלקיק מפורט ומדויק יותר ממה שלכאורה מותר על-פי תורת הקוונטים. כך נולדה השיטה הדו-וקטורית.

זה לבדו כבר יפה ומפתיע, אבל זו רק ההתחלה. בואו נחשוב על פרדוקס איינשטיין-פודולסקי-רוזן (EPR): שני חלקיקים יצאו ממקור משותף, התרחקו מאוד זה מזה, ואז נמדדו באותו רגע. הוכח שהמדידה של כל חלקיק משפיעה על החלקיק השני המרוחק מיידית, באפס זמן, כלומר בסתירה לאיסור של תורת היחסות על מהירויות גדולות ממהירות האור. איך זה קורה? המדידה של כל חלקיק משפיעה עליו לא רק מאותו רגע ואילך, כפי שחשבו בוהר, הייזנברג ושאר אבות תורת הקוונטים, אלא גם על רגעיו הקודמים, כלומר זו סיבתיות שהולכת אחורנית בזמן! אם השפעות שתי המדידות אכן מתקדמות גם בכיוון העבר, הן נפגשות באותו רגע בעבר שבו היו החלקיקים יחד. כך, מה שנראה מוזר בשלושת ממדי המרחב, נראה טבעי בארבעת ממדי המרחב-זמן של איינשטיין ותורת היחסות. זה די דומה לזיגזגים בזמן של סיפורי המדע הבדיוני, אבל הפעם זה מדע מוצק.

אנו מגיעים עתה להישג השלישי של הפורמליזם החדש. לא פחות מאשר פיזיקה חדשה.

אמר אהרונוב: ניקח עכשיו צמד כזה של תנאי התחלה וסוף, המהווים צירוף נדיר. אם נשוב אל התותח הלא-קדוש, נדמיין שהקליע הקוונטי פגע במקום לא סביר, נאמר: בבוידם של חותנתו של מפקד הגדוד. נדיר אבל קורה. עכשיו, מאותה נקודת פגיעה בבוידם, ברור שגם החישוב או הירייה לאחור יובילו אל מיקום שיגור מופרך, כמו למשל מחלקת הכשרות בעיריית בני-ברק. מה יתקבל אם כן ממסלול שחוּשַב בין צמד לא-סביר כזה של התחלה וסוף?

ה.

אתנחתא פילוסופית: מאמר מפורסם של חתן פרס נובל יוג'ין ויגנר עוסק בהתאמה המוזרה בין המתמטיקה לעולם הממשי. התאמה זו, אמר ויגנר, בנימה אפלטוניסטית ואפילו קצת דתית, היא נס שאיננו מבינים, וגם איננו ראויים לו.

הנס הזה בולט במיוחד בפיזיקה העיונית. פעם אחר פעם ראינו מדען משחק במשוואה לחישוב תהליך פיזיקלי מסוים ומקבל תוצאה מוזרה. אם נעשה החישוב כראוי, אזי, אחת הוא כמה נראית התוצאה לא סבירה, בא הניסוי ומאמת אותה! כך קרה למשל בטבלת מנדלייב, שסידרה את כל היסודות על פי סדר עולה. מיד הזדקרו ממנה משבצות ריקות שבהם יסודות עם תכונות מוזרות, אבל ברבות הימים התמלאו כולן ביסודות חדשים שהתאימו להן בדיוק. דוגמא רלוונטית יותר הייתה זו של פול דיראק הצעיר, שחישב את מסלול האלקטרון בהתחשב בתורת הקוונטים ובתורת היחסות. הוא קיבל שני פתרונות, שבאחד מהם היה לאלקטרון מטען חיובי. פיזיקאים בכירים יעצו לו להתעלם מהתוצאה המוזרה, אבל הבחור החליט לפרסם אותה. כעבור חמש שנים התגלה הפוזיטרון, ואתו כל עולם האנטי-חלקיקים.

מסקנה: כדאי לבטוח במתמטיקה.

ו.

כך עלה גם בחלקו של החישוב הדו-וקטורי של אהרונוב. כשנבחרו זוגות נדירים של תנאי התחלה וסוף, התקבלו ערכים מוזרים של החלקיק: גדולים מדי, קטנים מדי או אפילו שליליים. מצבים כאלה לא נראו מעולם, אבל החישוב היה פשוט ומתחייב מתורת הקוונטים. במילים אחרות: אם המדידה הקוונטית חושפת עולם מוזר, הרי בזמן שבין שתי מדידות כאלה קיימים מצבים מוזרים הרבה יותר.

אבל איך להיווכח בקיומו של מצב כה מוזר בפרק-הזמן "בין שתי מדידות"? הנה איך לא: ברור שלא ע"י מדידה!

שיטות שונות הוצעו לעקוף מלכוד לוגי זה. ראשונה הוצעה ע"י אהרונוב עצמו. "המדידה החלשה," אם נבצע אותה על קבוצת חלקיקים גדולה מספיק, יכולה להפיק מקסימום מידע במינימום הפרעה. צעד מכריע נוסף עשו לפני כעשור אהרונוב ו-וויידמן, כשהראו מקרה שבו גם מדידה קוונטית רגילה יכולה לתת אישוש למצבים מופלאים כאלה. הלכו שני חוקרים יפניים, אוקמוטו וטקאוצ'י, וביצעו את הניסוי: חלקיק העובר דרך שני סדקים שימש כ"ראי" לחלקיק-אור, מפוצל אף הוא, שיפגע בחלקיק בעוברו בשני הסדקים הללו. במקרה זה, חלקיק-האור יוחזר משני הסדקים כאילו פגע בשתי מראות! כך, לראשונה בהיסטוריה, הודגמה הסופרפוזיציה הקוונטית לא רק באופן סביל, ע"י השארת שני הסדקים פתוחים, אלא באופן פעיל, כשחלקיק בודד הודף את חברו משניהם.

את השיטה הזאת ניצלנו ד"ר אליהו כהן ואני לבדיקת ניבוי אחר ומסעיר מאוד של אהרונוב. נשוב לצמד המדידות הנדירות. בין שתי מדידות כאלה, יכול החלקיק להתפצל לכמה "חלקיקי רפאים" זמניים. חצי מחלקיקי רפאים אלה הם בעלי מאסה חיובית, וחצי-פחות-אחד בעלי מאסה שלילית. בזמן המדידה הם יבטלו אלה את אלה, כך שבסופו של דבר ישוב ויתגלה חלקיק אחד בלבד.

אהרונוב מצא מקרה שבו חלקיק כזה "מתפצל" לשלושה חלקיקי רפאים על פני שלושה מקומות, לשנים מהם מאסה חיובית ולשלישי שלילית. כשיגיבו חלקיקי הרפאים האלה זה עם זה, ייעלם החלקיק הממשי ממקום אחד וישוב ויופיע במקום השני המרוחק. זהו מצב שמעולם לא נחזה עד כה ע"י תורת הקוונטים, אבל מתחייב ממנה!

את הדינמיקה הזאת תיארנו, אהרונוב, כהן, ויגל ואני במאמר המופיע כאן. https://www.mdpi.com/1099-4300/20/11/854 . כמי שלקח את תפקיד הסופר אני גאה לציין שהמאמר כתוב בשפה שגם תלמידי תיכון במגמה הומאנית יבינו, ואפילו ייהנו יותר מאלה שעשו חמש יחידות. ראו את הציורים: ההיסטוריה ההולכת מהעבר לעתיד מסומנת בקו כחול, וזו ההולכת אחורנית מהעתיד לעבר היא באדום. ניתן לראות ששתי ההיסטוריות אינן חופפות, וכל אחת נותנת מקטעי פייק מקווקווים בכחול ובאדום. אבל בקטע שבו "עתיד פייק" ו"עבר פייק" חופפים – פרק-זמן קצר ללא עבר וללא עתיד – מופיע קו רציף סגול, המציין שהיה שם חלקיק ממשי!

ז.

דרך טובה (ועגומה) לתאר ניסוי זה היא בשפתו של דונלד טראמפ. יהא חלקיק שיכול לעבור בכמה מסלולים לכמה יעדים. אחרי שהמדידה מגלה אותו באחד מהם, שאר המסלולים שלא התממשו הופכים ל"עתיד פייק." בשיטה הדו-וקטורית של אהרונוב, המחשבת את התהליך גם לאחור, מתקבלים גם כמה מקומות מוצא שונים בעבר. ושוב, כיוון שמקום המוצא האמתי כבר ידוע לנו, אזי שאר מסלולי העבר המופרכים הם "עבר פייק."

עד כאן משחקי מלים, אבל מהשיטה הדו-וקטורית נובע ניבוי מפתיע: יהא תהליך עם כמה מסלולי "עתיד-פייק" (כחול) וכמה מסלולי "עבר-פייק (אדום)" אם קיים פרק-זמן בו יש חפיפה בין חלקי הפייק המשלימים (סגול), יופיע שם, כאילו יש מאין, חלקיק ממשי! הופעה זו תהיה לזמן קצר. ושוב: יתגלה חלקיק במקום אליו לא הלך החלקיק המקורי מלכתחילה, וממנו לא יצא.

חברנו אם כן לשני עמיתינו היפנים ופרסמנו הצעה מפורטת לניסוי שיבדוק דפוס זה של היעלמות והופעה-מחדש. לאחר פרסום המאמר החל אוקמוטו בניסוי עצמו. התוצאות הן בדיוק כפי שצפה המודל הדו-וקטורי.

ח.

בכל הצניעות, יש כאן לא פחות מאשר פיזיקה חדשה. מאסה שלילית היא גודל שאינו מוכר בפיזיקה של ימינו, ולא בכדי. אם יהיו גופים עם מאסה שלילית במציאות המאקרוסקופית שלנו, כלומר כיסאות ושולחנות ואנשים עם מאסה שלילית, האינטראקציות ביניהן יביאו למהירויות אינסופיות ועוד פרדוקסים מסוג זה. אבל אם הן קיימות בעולם הקוונטי, נראה שכל המודל הסטנדרטי של החלקיקים חייב לקחת סימטריה חדשה זו בחשבון, לצד הסימטריות של המרחב, הזמן והמטען שמחייב משפט ה-CPT המפורסם. ארחיב על כך במאמרים הבאים.

ט.

הפיזיקה החדשה שהתגלתה מאחורי תורת הקוונטים הביאה התקדמויות טכנולוגיות מרשימות, אבל לאהרונוב שימשה גם כלי להתמודדות עם שאלת-חייו, בעיה עתיקה שתחת ידיו הפכה לאובססיה פורייה: היכן מקומו של האדם, נפשו וחירותו בתמונת העולם החדשה?

לגבי חוקי הפיזיקה הקלאסית המצב ברור: הם עושים אותנו עבדים לעבר. לכן כתב איינשטיין בן ה-38 שיר אהבה ילדותי לשפינוזה, שכפר במציאות רצון חופשי. אילו יכלה האבן לחשוב, כתב שפינוזה, היא הייתה מאמינה שהיא נופלת מרצונה החופשי ולא מתוך הכרח פיזיקלי.

מה בדבר חוקי הפיזיקה הקוונטית? לכאורה הם משחררים אותנו מעבדות הדטרמיניזם, אבל במקומה הם משעבדים אותנו לחוקי ההסתברות – מן הפח אל הפחת. עכשיו בא הפורמליזם הדו-וקטורי, ולכאורה משעבד אותנו כפליים: הן לעבר והן לעתיד!

לא, השיב אהרונוב. כיוון שגם העבר הקוונטי הוא, בתנאים מסוימים, בר-שינוי כמו העתיד, ייתכנו מצבים בהם יכול המוח להשתחרר מכבלי הסיבתיות ולהחליט החלטות חופשיות באמת. ניתן להוכיח בחישוב גס כי סיבוכיותו העצומה של מוח אנושי כלשהו היא כה גדולה עד שלא ניתן ליצור העתק מדויק שלו אפילו אם נשתמש בכל האנרגיה הקיימת ביקום. כיוון שכך, אין משמעות לדיבור על "אוסף" ראובנים או שמעונים כפי שנהוג לדבר על "אוסף" חלקיקים זהים או כדורי ביליארד כמעט-זהים. במילים אחרות: כל מוח הוא כה ייחודי עד שחוקי ההסתברות שביסוד תורת הקוונטים פשוט אינם חלים עליו. אחד ממאפייני ייחודיות זו של המוח הוא שהגוף המודד והגוף נמדד הם אחד. כך, כשהמוח השלם מבצע מדידה עצמית על נוירון אחד שלו, נוצר מצב שגם תורת הקוונטים אינה רגילה להתמודד אתו. בפורמליזם הדו-וקטורי, לעומת זאת, נפתח כאן פתח להשתחררות אמיתית מהשפעות העבר בתוך המוח.  

איך בדיוק? תראו זה די פשוט. הזמן... אבל בעצם למה שאני אסביר? הנה יקיר מסביר לי בדיאלוג שלנו על תורת הקוונטים והפורמליזם הדו-וקטורי.

תודה לבמאי והמפיק צחי שיף על מלאכת ההפקה המפרכת.

ותודה לך יקיר, כִּי אֹרֶךְ יָמִים וּשְׁנוֹת חַיִּים וְשָׁלוֹם יוֹסִיפוּ לָךְ.