"בשום מקום," אמר פעם הרופא וויליאם הארוויי (1578–1657), מגלה מחזור הדם, "אין הטבע מגלה את סודותיו כמו במקרים בהם הוא פוסע מחוץ לשביל הכבוש." אכן, האירועים הנדירים הם המגלים לנו את החוקים שביסוד שגרת היומיום המציאות היומיומית. אילו היה אתמול ליקוי חמה הייתי מדגים עליו את העיקרון הזה, אבל היה ליקוי לבנה, וגם זה טוב. ליקוי חמה כמעט מלא ייראה באילת בשנה הבאה, אוגוסט 2027, אז אומר כבר עכשיו על מה שמלמדים אותנו הליקויים האלה.
נתחיל בצירוף מקרים מדהים: בזמן ליקוי חמה מכסה הירח בדיוק את השמש! איך? אמנם הירח קטן מהשמש פי 400 אבל הוא גם קרוב אלינו פי 400, ולכן שניהם מכסים חצי מעלה על כיפת השמים וכך יוצא ששני ההבדלים הענקיים האלה מאזנים בדיוק כמעט מלא זה את זה!
המזל הזה קידם את האסטרונומיה היוונית במאות שנים קדימה, וקשה לתאר היכן היה עולם המדע בלעדיו. לאבותינו היוונים לא היו טלסקופים ואפילו לא מצפי-כוכבים משוכללים, אלא רק זוג עיניים סקרניות בתוספת מוח תאב-דעת ונועז. הם התעמקו הרבה בטריגונומטריה, הנדסת המשולשים, ובעיקר ביחסים בין צלעות המשולש לבין זוויותיו. כך קיבלו גדלים הנקראים סִינוּס, קוֹסִינוּס וטַנגֵנס (והחנונים המציאו גם יחסים ביניהם עם שמות עוד יותר סקסיים: קוטנגנס, סקנס וקוסקנס, שאני מעדיף לא לנקד). בלי להיכנס לפרטיהם נציין שהם אפשרו ליוונים להתרומם מעל מגבלות האדמה אל מרחבי השמים בלי לעלות אפילו על כיסא.
השיטה נקראת טריאנגולציה, ובעברית תִּלּוּת. הנה דוגמא כמה היא יעילה.
אתם על גדת נהר שורץ תנינים ובעברו השני עומד עץ. לצורך הפשטות יהא זה ברוש ישר וזקוף. מה המרחק ביניכם לבין הברוש? אל תסכנו את חייכם בצליחת הנהר. מתחו קו ישר על הגדה שלכם בניצב לכיוון העץ. קחו חבל מדידה ומד-זווית, ומדדו את אורך הקו, ואת שתי הזוויות שבין שתי קצותיו לבין העץ שממול. קיבלתם משולש ששני קדקודיו הם שני קצות הקו שסימנתם, והקדקוד השלישי הוא מקום העץ מולכם. עשו לעצמכם חיים קלים ובחרו בנקודה שבה הזווית בין קצה הקו שלכם לבין הברוש תהיה זווית ישרה (90 מעלות). קיבלתם משולש ישר-זווית שצלעותיו הם שני ניצבים ויֶתר. חַשבו טנגנס – וקיבלתם את מרחק העץ בלי להתקרב אליו!
עכשיו אתם רוצים לדעת גם מה גובהו של העץ. קל! אתם כבר יודעים את המרחק אליו, אז שכבו על הארץ בקצה הראשון של הקו שמתחתם קודם, ומדדו את הזווית בין העין שלכם לבין בסיס הברוש (ושוב, עשו לעצמכם חיים קלים ובחרו בנקודה שבה הם יהיו בדיוק באותו גובה, כך שתקבלו 0 מעלות). אחר כך תמדדו גם את הזווית בין מקום העין לבין הצמרת למעלה. כיוון שבחרנו בברוש ישר וזקוף, אז הזווית בין גזעו לבין הקו האופקי המחבר את בסיסו עם העין שלכם היא 90 מעלות. שוב קיבלתם משולש ישר-זווית. שלוש הזוויות ידועות לכם (לפי המשפט שהסכום שלהן חייב להיות 180 מעלות), וגם אורך ניצב אחד (המרחק אל העץ) כבר ידוע לכם מהתרגיל הקודם. שוב יבוא הטנגנס, ומאורך הניצב הזה, והזוויות, ייתן לכם את אורך הניצב השני – גובה העץ.
זה כמובן הרבה יותר מסובך כשמדובר במרחקים אסטרונומיים, ובכל מיני זוויות אחרות. אבל שני יוונים גאונים, היפּארכוֹס מניקאה ואריסטארכוּס מסאמוס, השתמשו בשיטות אלה לחישוב גודליהם ומרחקיהם של הירח והשמש. התוצאות שקיבלו היו נורא לא מדויקות, אבל מורה טוב למתמטיקה ייתן להם 90, לא 90 כזווית אלא 90 כציון בבחינה, כי הדרך הייתה נכונה ורק מכשירי המדידה היו מצ'וקמקים.
בא עוד יווני גאוני, אֵרַטוֹסתֵ'נֵס מאלכסנדריה, והראה איך למדוד בשיטה זו את היקף כדור-הארץ (ראו ציור). הוא רק מדד את הזווית של השמש כפי שנראתה בצהרי אותו יום בתוך הבאר ליד ביתו. גם הוא עשה לעצמו חיים קלים ובעזרת באר אנכית במדויק בחר ביום שבו השמש הייתה בצהריים ממש בזֶנית, כלומר בזווית ישרה ביחס לאדמה באלכסנדריה. במקביל ביקש ממישהו בעיר אסוואן למדוד, באותו יום ובאותה שעה, את זווית השמש אצלו. כמה נחמד: באסוואן היא לא הייתה בדיוק בזֶנית. ארץ שטוחה, מישהו? אחר כך (או קודם לכן) בירר אֵרַטוֹסתֵ'נֵס מה המרחק בין שתי הערים (בלי גוגל כנראה). שוב התקבל מעין משולש, שהבסיס שלו קצת מעוגל בשל כדוריות הארץ. עוד קצת טריגו' – והוא קיבל קירוב יפה מאוד של היקף כדור-הארץ!
אז אתם כבר מבינים שאם אתם יודעים את מרחק הירח ואת קוטרו, אזי, עקב העובדה שבזמן ליקוי חמה מלא מכסה הירח כמעט בדיוק את השמש, קל לקבל מקוטר הירח ומרחקו גם את קוטר השמש ואת מרחקה! ומשם כל השאר זורם מאוד יפה. ברור כמובן שליקוי חמה נובע מהסתרת השמש ע"י הירח, כי אנחנו רואים את הירח מתקרב אל השמש לפני הליקוי ומתרחק ממנה אחריו. צריך קצת יותר מחשבה להבין שבזמן ליקוי לבנה, הצל העגול הנופל על הירח הוא הצל של כדור-הארץ (תעשו לעצמכם טובה וחפשו בפייסבוק קבוצות של מאמיני הארץ השטוחה ותראו איך הם התפתלו אתמול להסביר תופעות אלה – פרייסלס!). נותר אם כן להשוות את תוצאות מדידותינו בשני סוגי הליקויים, ונקבל נתונים יותר מדויקים, וגם נוסיף חדשים.
בתקופת הרנסאנס התחילו אסטרונומים לנצל את הטריאנגולציה למדידת מרחקים הרבה יותר גדולים. כדור-הארץ עוזר לנו בכך ע"י שני הסיבובים שלו – סביב עצמו וסביב השמש. נבחר שתי שעות מתאימות במרחק חצי יממה זו מזו, ונמדוד בשתיהן את הזווית בינינו לבין גוף שמימי כלשהו. שוב קיבלנו משולש ענק, שהבסיס שלו הוא קוטר כדור הארץ, ומשתי הזוויות ואורך הבסיס נוכל לחשב את מרחק הגוף השמימי. נוכל גם לבחור שני ימים מתאימים במרחק חצי שנה זה מזה ולבצע את אותו זוג מדידות, וקיבלנו משולש ענקי בהרבה, שהבסיס שלו הוא הקוטר המקסימלי של מסלולו האליפטי של כדור-הארץ סביב השמש! כך נוכל לעשות טריאנגולציה לכוכבים הרבה יותר רחוקים.
ההמשך ידוע. פטולמאיוס יציע את המודל הגיאוצנטרי, יבוא קופרניקוס ויוכיח שהארץ וכוכבי-הלכת נעים סביב השמש, וקפלר יסבך לנו את החיים ויוכיח שכוכבי-הלכת נעים סביב השמש בעיקר באליפסות ולא במעגלים פשוטים. אבל כל זה יהיה קטן על בחור בשם ניוטון, שיוציא מנתונים אלה חוק טבע וקבוע יסוד השולטים בכל היקום!
את ההסבר שאני מביא כאן לקחתי ממאמר ישן של ורנר פון-בראון, מדען טילים שהיה פושע נאצי בצעירותו, אבל האמריקאים היו צריכים אותו אז אחרי המלחמה עשו אותו אחד מבכירי נאס"א ואבי תוכנית "אפולו" שהביאה אדם אל הירח. זה לא בדיוק החישוב שניוטון עשה אבל שווה-ערך לו ועושה את המהלך הרבה יותר פשוט.
אם אנו יודעים את נפחי כדור-הארץ והירח, אז אנו יודעים גם את המאסות שלהם (נניח לשם הפשטות ששניהם עשויים רק מסלע). אנו כבר יודעים גם את רדיוס מסלול הירח סביב כדור-הארץ, וכמובן את מהירות הקפתו (כחודש). מנתונים אלה – מאסה, רדיוס ומהירות סיבוב – קל לחשב את הכוח הצנטריפוגלי הפועל על הירח כלפי חוץ. "צנטריפוגלי" פירושו שאלמלא היה פועל על הירח גם כוח נגדי, הוא היה עף מזמן לחלל. מה אם כן הכוח הנגדי, המושך את הירח כדי שלא יעוף החוצה – אבל גם לא ייפול על כדור-הארץ אלא ימשיך לחוג סביבו באותו מעגל? בדיוק כמו הכוח הצנטריפוגלי בכיוון ההפוך! כך גילה ניוטון את כוח הכבידה.
עכשיו תחזיקו חזק. אם אנחנו כבר יודעים את שתי המאסות, של כדור-הארץ ושל הירח, וכן את כוח הכבידה הפועל ביניהן, אנו יכולים לחשב את היחס הכללי – בכל היקום– בין מאסה לכבידה! כלומר, מעתה נוכל לדעת לא רק את כוח הכבידה שמפעילים זה על זה כדור-הארץ והירח והשמש, אלא גם את כוח הכבידה בין כל שני גופים, בכל מקום ביקום!
כך קיבל ניוטון את הקבוע G המופיע בכל חישוב אסטרופיזיקלי או קוסמולוגי, וגם ביחסות ובקוונטים.
בכך השיג ניוטון את אחד האיחודים המרהיבים ביותר בתולדות המדע. בכובעו כמתמטיקאי הוא נתן לעולם תורה שעוסקת בצורות שונות של עקמומיות, כמו עיגול ואליפסה ופרבולה. זוהי החדו"א (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי), המחברת באופן פרדוקסלי את שתי המפלצות המתמטיות אפס ואינסוף, ושבגללה מקללים אותו עד היום תלמידי תיכון. בכובעו השני, כפיזיקאי, הראה ניוטון איך כל התנועות העקומות והישרות המוכרות לנו ניתנות להבנה מתוך שלושה חוקי-יסוד פשוטים, המתארים תנועת כל גוף בהשפעת כוח כלשהו. החיבור בין החדו"א לאסטרונומיה הוליד את חוקי היסוד של הפיזיקה הקלאסית.
נפתח בציור מעשי ידי ניוטון עצמו, המתאר מסלולים שונים של קליע תותח הנורה מראש הר גבוה על כדור הארץ. כל מסלול עקום כזה נקרא פַּרַבּוֹלָה. (בסוגריים נוסיף כי אם ניתן לקליע להישמט מפי התותח ללא דחיפה כלשהי הוא ייפול למטה בקו ישר, ולכן גם הקו הישר הוא סוג של פרבולה עם עיקום אפסי.) ככל שנירה את הקליע במהירות התחלתית גבוהה יותר, כן תתרחב צורת הפרבולה של מסלולו, עד שתגיע לעיגול או אליפסה, ואז יהפוך קליע התותח ללוויין המקיף את כדור-הארץ.
וכך, התפוח הנופל מהעץ; הירח המקיף את כדור-הארץ; כדור-הארץ המקיף את השמש; והשמש המקיפה את מרכז הגלקסיה – כולם מצייתים לאותו כוח ולאותו חוק. נכון, ניוטון לא ידע מהי גלקסיה, או כוכבים כפולים, ובוודאי לא חור שחור, אבל, הפלא ופלא, גם הם מצייתים לו.
אבל זו רק תחילת האיחוד. עכשיו נדבר קצת על מתמטיקה (בלי משוואות) ועל איחוד נוסף שיצטרף לאיחוד הזה, לאיחוד-על.
בתמונה הבאה נראית קבוצת קווים עקומים הקרויה משפחת חתכי החרוט – עיגול, אליפסה, פַּרַבּוֹלָה והִיפֶּרבּוֹלָה. כל קו כזה נוצר לפי זווית אחרת של חיתוך החרוט.
מה הקשר בין מסלולי גופים לחתכי החרוט? הנה איך בא ניוטון וזיקק מכל עבודות קודמיו הבנה מתמטית-פיזיקלית אחת, פשוטה ויפה:
1. במתמטיקה:
א. בימי קדם הראה ארכימדס איך ניתן לחקור קו עקום כאוסף קווים ישרים באורך אפס.
ב. קצת אחריו הראו אפולוניוס ומנאכמוס כי מסלולים עקומים שונים, מהעיגול עד ההיפרבולה, שייכים לאותה משפחה: חתכי החרוט. (נוסיף שגם הקו הישר שייך למשפחה זו: זה קורה כשמישור החיתוך משיק למעטפת החרוט.)
ג. בא דקארט כעבור יותר מאלף שנה והראה איך כל חתכי החרוט ניתנים לייצוג ע"י אותה מערכת משוואות ריבועיות. נשנה אות או שתים במשוואה, והעיגול הופך לאליפסה, שהופכת לפרבולה וכו'.
2. בפיזיקה:
ד. האסטרונום הקדום פְּטוֹלֵמַאיוּס (תַלמַי) ייחס לגרמי השמים תנועה מעגלית סביב כדור-הארץ.
ה. בא הפולני קופרניקוס ועשה מהפכה, ושם את השמש במרכז, אבל השאיר את התנועה כמעגלית.
ו. המשיך הגרמני הגאון קפלר (ראו הרצאה שלי עליו בסוף העמוד) ובמשך הרבה שנים ירק דם בחישובים ארוכים (בלי חדו"א, כי ניוטון עוד לא נולד) עד שגילה שרוב כוכבי-הלכת במודל של קופרניקוס חייבים לנוע דווקא באליפסות.
ז. גלילאו, באותו דור בטוסקנה, שעבר לפיזיקה אחרי שנאסר עליו לעסוק באסטרונומיה, חקר את המסלולים הפַּרַבּוֹליים של קליעים הנורים על הארץ.
ח. יש אסטרואידים המגיעים למערכת השמש מהחלל החיצון ובהשפעת כבידת השמש ”עושים פרסה“ אחורנית, כך שמסלולם הוא פַּרַבּוֹלה או הִיפֶּרבּוֹלַה.
ועכשיו קם ניוטון, חיבר מתמטיקה עם פיזיקה, והוכיח:
ט. כל הניסוחים (א)-(ג) ניתנים לביטוי אחיד באותו חשבון אינפיניטסימלי!
י. ובעזרתם ניתן לחקור ולמדוד את (ד)-(ח) על כדור הארץ, במערכת השמש ובכל היקום. במילים אחרות: כל המסלולים המעגליים, האליפטיים, הפרבוליים וההיפרבוליים שעושים כוכבי-לכת, מטאוריטים או סתם אבן שזרקנו – כולם וריאציות של אותה נפילה חופשית!
מוזמנים לזרוק אבן למעלה ולראות איך היא עושה מסלול פַּרַבּוֹלי, ואז לראות איך ניוטון הראה שאותה משוואה F=Ma שולטת הן במסלול האבן, והן במסלולי הירח, כוכבי-הלכת, הגלקסיות ואפילו במסלולי חלקיקים תת-אטומיים.
בא עוד נציג טיפוסי של המדע האנגלי מאותם ימים, הנרי קַוֵנדִיש, גאון לא הכי שפוי (תארו לעצמכם בנאדם שכל כך פוחד ממגע עם אנשים – ועוד יותר מנשים! – שבנה את ביתו בצורה מיוחדת כך שהמשרתים ישימו לו את האוכל בחדר האוכל או במעבדה שבנה באמצע הבית בלי שיצטרך לראות או לשמוע אותם). קַוֵנדִיש החליט להוכיח את הקבוע של ניוטון גם בנוגע למשיכה ההדדית בין עצמים רגילים כמו כיסאות, שולחנות ואנשים (חלילה לא נשים). איך? הרי המשיכה הזאת היא אפסית! אם תשימו שני תפוחים בחלל במרחק קטן זה מזה, תצטרכו לחכות אלפי שנים כדי לראות איזו התקרבות ביניהם... הלך האיש ובנה מתקן סוּפֵּר-עדין-ורגיש. שני כדורי עופרת היו תלויים באיזון מושלם משני צדי מוט מאזניים תלוי על התקרה. אל שני כדורי העופרת האלה קירב לאט, אבל ממש לאט-לאט, זוג נוסף של כדורי עופרת, משני צדדים מנוגדים (ראו ציור).
מה הכוח הפועל בין שני כדורים של קילוגרמים בודדים? אפסי כמובן. אז איך אפשר להרגיש בתזוזה? לקוונדיש לא היה לייזר, אבל הוא הצליח לכוון אלומת אור מרוכזת מאוד אל ראי קטן שהיה קבוע בדיוק במרכז מוט המאזניים, ולראות איך נקודת האור שהקרין הראי הזה זזה טיפ-טיפה על קיר רחוק. מדידת התזוזה הספיקה כדי להראות ש-G נכון לכל גוף ביקום, מגלקסיה ועד גרגר חול.
טוב אני יודע שהרבה מורים לפיזיקה כבר מרטו את שערותיהם מרוב הדילוגים והאי-דיוקים שעשיתי עד כאן (מוזמנים להעיר), אבל זו הייתה בערך ההתפתחות. יש היסטוריון של האסטרונומיה, פרופ' עדו יעבץ, שקנה מומחיות אדירה בשני התחומים: הן בכתבי-יד מתפוררים בשפות מתות והן בזיהוי כוכבים וגלקסיות בלילה. קראו את ספרו המעולה "גלגלים ומזלות." ואל תשכחו את יו"ר מכון אייר שלנו, האסטרופיזיקאי והמשורר והיזם ד"ר צפריר קולת, ואת ספריו המאלפים אטלס השמים הישראלי והצד האפל של היקום.
בוקר טוב לכל חטופינו ויתקיים במפקיריהם היפך הפסוק יוֹמָם הַשֶּׁמֶשׁ לֹא יַכֶּכָּה וְיָרֵחַ בַּלָּיְלָה. יכו, באבי-אביו יכו את חמאסיהו עד ליקוי החמה הבא, ותפרח כאן ארץ חדשה.
הרצאת ליל שבועות: יוהאנס קפלר ושירת הכוכבים.
