ואתא שונרא: חומר, חיים ונפש בעולמו של שרדינגר

כמו לספרות, לפילוסופיה ולכל שטחי ההגות, גם למדע יש קלאסיקות. כנגד אודיסאה, דון קיחוטה ומלחמה ושלום, שמורות בארון הספרים המדעי כותרות מכוננות כמו היסודות של אווקלידס, הפרינקיפיה של ניוטון ומוצא המינים של דארווין. לא אחת מצטיינת הקלאסיקה המדעית גם ביופי ספרותי. כאלה היו כתבי קפלר וגלילאו, שזנחו את הלטינית העבשה לטובת גרמנית עממית או איטלקית מתנגנת, שאפילו תנועות הידיים הנרגשות של דובריה עולות מקריאתה. אפילו ניוטון היבש נתפס מדי פעם לפיוט: "על כן יאמרו הפילוסופים כי הטבע אינו עושה דבר לשווא, והיותר לשווא הוא כאשר די בפחות, כי אוהב הטבע את הפשטות, ולא יתהדר בסיבות למעלה מן הדרוש."[1]

מה הם החיים? הוא קלאסיקה כזאת. הורתו ולידתו באולם הרצאות בטריניטי קולג' בדאבלין, לשָם נקלע אחד מגאוני המאה העשרים בעוד שואה הולכת ומתקדרת בשמי העולם. ארווין רודולף יוזף אלכסנדר שְרֶדִינגֵר (1887-1961) כבר נודע באותה עת כאחד מחלוצי תורת הקוונטים: ביד אחת העניק לה משוואת יסוד, ובידו השנייה הוסיף לה פרדוקס מטריד. תחילה ניסח את משוואת הגלים שביסוד תורת הקוונטים. זו, בניגוד למשוואה הפשוטה בפיזיקה הקלאסית F=ma, מתארת את תנועתו הגלית של חלקיק. האבסורד מזנק מיד, וכעבור שנים הביא אותו שרדינגר לקיצוניות בפרדוקס המפורסם: יהא חתול בתוך קופסה סגורה ובה אטוֹם רדיואקטיבי בודד. האטום אמור להתפרק מתישהו, אבל כל עוד לא נעשתה מדידה לברר זאת, הוא יימצא ב"סופרפוזיציה," לאמור, בכפל-המצבים התפרק/טרם-התפרק. אפשרות מוזרה זו – חלקיק הנמצא בו-זמנית במקומות ובמצבים שונים ואף מנוגדים – כבר הוכחה באינספור ניסויים, אבל כידוע אינה מופיעה בחפצים גדולים כמו חתול. הנה אם כן הבעיה: אם התפרקות האטום שאירעה/טרם-אירעה מפעילה מנגנון קטלני בתוך הקופסה, האם יהיה גם החתול בכפל-המצבים חי/מת? ברור שאם יעשה איזה נבל את הניסוי, ימצא את החתול רק באחד משני המצבים כשיפתח את הקופסה. אבל מה באמת היה כל עוד לא נפתחה הקופסה, בעוד החתול מבודד משאר היקום? שאלה קשה, ועד היום, כל המתיימר להשיב עליה לכאן או לכאן מסתבך בפלפולים והשערות ללא הוכחה של ממש.

אלה היו הקוונטים, יסודות עולם הדומם. אבל עכשיו, כגולה בתקופה האפלה ביותר בתולדות האדם, הזמין שרדינגר את שומעיו למסע שאפתני אל חידת החיים. מדרך הטבע הביא עמו תובנות מתחום עיסוקו הקודם. מה שבניסוי החתול בקופסה הסגורה היה פרדוקס, יהיה בחתול שבחוץ פתח להבנה חדשה: גשר בין הבנת האטום הבודד לחקר המצב המסובך להפליא של אורגניזם חי.

וכמו סיפורי חייהם של גלילאו וקפלר, גם חיי שרדינגר היו דרמה: מחד ריבוי תחומים רנסאנסי[2] והתגרות אמיצה במפלצת הנאצית, ומאידך אישיות אקסטרווגנטית, חיי מין מביכים בלשון המעטה, ושפע ריב ומדון. בשנים קודמות זכיתי, כפי שסיפרתי במקום אחר, ליצור היכרות אינטימית עם כמה מבני משפחת שרדינגר,[3] וכך הגיעו אליי מתרגמי ספר זה.

מה עשה את מה הם החיים? לקלאסיקה ומה התחדש מאז?

א.   חומר ואקראיות

"אין מוקדם ומאוחר בתורה," קל וחומר במדעים. כשמתמטיקאי נתקל במשוואה עם גודל לא ידוע, הוא מסמן את הנעלם ב-x, עושה בו פעולות שונות מתמטיות שונות שבעזרתן הוא מחשב את הגודל הנעלם, עד שיוכל להציב במקום האות את המספר הדרוש. זה עובד נפלא גם במחקר המדעי. מנדלייב, למשל, חזה יסודות חדשים רבים רק בזכות שיבוץ היסודות שהיו ידועים בזמנו לטבלה מחזורית. בכל משבצת שנותרה ריקה שובץ, אם כן, נעלם בדמות אטום לא-ידוע עם ערכיו הצפויים, ולפעמים אפילו שֵם ניתָן לו – עד שאכן התגלה יסוד כזה בטבע, בדיוק כפי שחזה המודל.

בשיטה דומה חיפש עתה שרדינגר לא אטום אלא מולקולה גדולה ומורכבת מאוד, שאת תכונותיה ניסה לגזור ממה שכבר היה ידוע על תפקידה הביולוגי. מחד גיסא היא צריכה להיות מעין גביש, מבנה המעניק למולקולה יציבות בתוך ה"רעש" של אירועים אקראיים השולטים בעולם האטומי, ומאידך, שלא כגביש טהור, עליה להיות רבגונית כמחרוזת צבעונית, פתוחה לשינויים מדי פעם, שיהיו אף הם קבועים לזמן רב. זו אמורה הייתה להיות מולקולת התורשה, שלימים תיקרא DNA.   

כל פעולה יצירתית מציגה "קפיצה" כלשהי, במובן זה שמתבונן מאוחר יותר יתקשה לשחזר אותה: איך הגיע אותו אמן, מדען, ממציא או מדינאי, מכמה עובדות או מחשבות הידועות לכולנו אל חידושו המפתיע? הקפיצה של שרדינגר הייתה בין שתי קפיצות של הטבע עצמו, שהתגלו בערך באותו זמן, בחקר החיים ובחקר החומר הדומם.

הקפיצה הראשונה ידועה ופשוטה: אנו יורשים משני הורינו תכונות המתערבבות בנו. מתערבבות – אך לא מתמזגות! צבע עינינו, למשל, אינו תערובת אחידה של חום, ירוק וכחול, כפי שהיינו מצפים אחרי אינספור זיווגים בדורות קודמים, אלא "בחירה" אקראית באחד הצבעים לבדו. כך גם צבע השיער ותכונות נוספות. העירוב הוא לעולם ברמת האוכלוסייה ולא ברמת היחיד. עובדה זו – יחידות תורשה "אטומיות" בלתי-מתחלקות, שבלעדיה לא יופיעו המוטציות הדרושות לאבולוציה – לא הייתה נהירה לצ'ארלס דארווין (1809-1882Darwin, ) והסבה לו עוגמת נפש.

כל אותה עת שקד אב-מנזר אלמוני, גרגור מנדל (1822-1884 Mendel,), על מחקריו בתורשה שהצביעו בדיוק על קפיצות אקראיות אלה. והלא גם דארווין וגם קודמו הגדול, אבי תורת המיון קארל לִינֵה (1707-1778 von Linné,), ציטטו את אִמרת לייבניץ (1646-1716 Leibniz,) Natura non facit saltus (הטבע אינו עושה קפיצות)? עושה גם עושה, טען מנדל, אבל גם כשכתב לעמיתו הבריטי בתקווה ליצור עמו דיאלוג, נותרו דבריו ללא מענה, ואף נשכחו לזמן רב. רק בראשית המאה העשרים התגלה המנדליזם מחדש ושובץ כיאות במקומו כאבן-הראשה החסרה בראש כיפת מבנה האבולוציה.

ואז, ממש באותה ראשית מאה, התגלה כי קפיצות אקראיות אינן רק מראית-עין של תהליכים סיבתיים מסובכים, אלא יסודות תהליכי הטבע עצמו. זו הייתה המהפכה בה החל באי-רצון מקס פלאנק (1858-1947 Planck,) בגילוי התנהגותן האקראית של יחידות-היסוד של חומר ואנרגיה. נדגיש כי אקראיות זו היא מהותית ולא טכנית, בניגוד לאקראיות נפילת הקובייה שבעיקרון ניתנת לניבוי. בעולם הקוונטי, כל הניסיונות לחשוף סיבתיות חבויה כזו הובילו לסתירות. כך נולדה תורה שהצמיחה שלל אפקטים ופרדוקסים, אבל פתרה בעיות קשות במדעים רבים, ובראשם הכימיה וחקר האטום.

בא אפוא שרדינגר וביקש לחבר את שתי הקפיצות: תבאר האקראיות האטומית את דילוגי הגנטיקה. אם התפרקות אטום בודד חורצת את גורל החתול בקופסה, הרי גם חיי החתול שבחוץ יכולים להיות מושפעים לטוב ולרע משינוי קוונטי בנוקלאוטיד בודד שיירש מאחד משני הוריו.

אבל לא תורשה היא כותרת הספר הזה כי אם החיים עצמם. כי שרדינגר אינו הולך בקטנות. אם לִינֵה טבע את שיטת המיון של כל החיים למשפחותיהם; דארווין חקר את השתלשלותם זה מזה; ומנדל פענח את קוד התורשה שלהם; עתה ינסה הוא להכליל את כל עבודותיהם, ובכך לחבור היישר אל אביה הקדמון של הביולוגיה, אריסטו, שחקר את ההבדל בין הסיבתיות בעולם הדומם לתכליתיות המאפיינת את החיים; ואולי אף אל אפלטון, הוגה תורת האידאות הטבועות בחומר. המולקולה של שרדינגר אמורה אם כן להסביר את עצם הפיזיקה של המצב החי.

ועוד שאלות העסיקו את המלומד האומניבור. הוא קרא בשקיקה ספרי פילוסופיה, יוונית ומזרחית, והשתקע גם בבעיות תורת ההכרה.[4] את מה הם החיים? הוא פותח בחידות המוח והתודעה ומסיים בתהיות נבוכות בבעיות הבחירה החופשית. ואכן כעבור עשור פרסם ספר נוסף, נפש וחומר, על חידת הגוף-נפש.[5] לא בכדי בחרה הוצאת קיימברידג' להוסיף ספר זה למה הם החיים? במהדורות המאוחרות. שתי הפליאות עולות מהחומר הדומם וגם שבות אליו.

ב.   חתול מחוץ לקופסה

"תפיסותיו של הפיזיקאי הנאיבי על אורגניזמים" היא נקודת הפתיחה של שרדינגר (עמ' 6 2 ??). הבה נפתח בה גם אנו, ובדוגמה קרובה ללבו. הנה הולך פיזיקאי שקוע במחשבותיו בשעת לילה בגן. פתע מזנק חתול מפח האשפה ומבהיל אותו. אין כאן בעיה קוונטית, לא קופסה סגורה ובוודאי לא אטום בודד ומנגנון הריגה. הפיזיקאי נרגע, ממשיך בדרכו ומחשבותיו פונות אל חוקי הפיזיקה שביסוד מה שהתחולל לעיניו. האינטראקציה עם החתול הייתה ייחודית לסוג הגופים שניחנו בתכונה הקרויה "חיים":

א.    גוף במנוחה עבר בִּן-רגע לתנועה מהירה, אפילו נגד כוח הכבידה. ודאי שאין בכך סתירה לחוקי הפיזיקה, ועדיין קרה כאן משהו מסקרן. הגוף, בעל המאסה, עבר תאוצה אדירה, וזאת בתגובה ישירה להתקרבות האדם, אבל מבלי שהאדם הפעיל עליו כוח. משהו חסר כאן: משוואת היסוד F=ma אומרת: תאוצת הגוף תלויה בכוח שפעל עליו, מחולק במאסה שלו. איזה כוח פעל אם כן על החתול? מעט קרני אור ורחש קול? תגובת התאוצה הייתה לגמרי לא פרופורציונית לכוחות אלה. אורות וקולות הרבה יותר חזקים, כמו קרינת השמש וייללת הרוח, ישאירו חתול לרבוץ בשלווה. מהו אם כן הגורם שיש להכניס למשוואה במקום "כוח" כדי שינבא את תאוצות החתול?

ב.    ההבדל בין החי והדומם יחריף כשינסה הפיזיקאי להעריך את תגובת הגוף לא רק בחלל אלא גם בזמן. ברור שמה שגרם לחתול לקפוץ היה לא רק מיקומו של הפיזיקאי באותו רגע, או ברגע הקודם, אלא המקום בו הוא יהיה ברגע הבא – קרוב מדי לחתול. חיים, מכל סוג שהוא, מפגינים תכליתיות, לאמור תגובה מקדימה למצבי עתיד. במה תועיל לנו כאן הפיזיקה, המבוססת על סיבתיות, לאמור, על גורמים בעבר?

ג.     ברור שתכליתיות זו פועלת בזכות מנגנונים מורכבים בתוך הגוף, אבל אז מתברר שהתהליך הוא חריג גם מהבחינה המיקרוסקופית. הבה נדַמה חתול מת, חלילה, צונח על הארץ באותה מהירות בה זינק למעלה החתול החי. הגוף ייחבט באדמה ויידום מיד. אנרגיה קינֶטית ניכרת, של גוף מאקרוסקופי, התגלגלה לאנרגיה תֶרמית, כלומר, גל-הדף באדמה ובאוויר, שהתפזר ודעך מיד לתנועות זעירות של אינספור מולקולות. כך עושים כל הגופים בטבע הדומם: אנרגיית תנועה גדולה, היוצרת חיכוך, יכולה לדעוך בבת-אחת לאנרגיית חום בלתי מורגשת. זהו עוד ביטוי לחוק השני של התרמודינמיקה, המחייב את עליית האנטרופיה. בואו נחדד: לעולם לא נראה את המקרה ההפוך בזמן, לאמור, גוף דומם מזנק מהאדמה עקב גל-הדף של טריליוני תנועות זעירות של מולקולות עפר ואוויר, שהתכנס בדייקנות למרכז מכל הכיוונים. שימו לב שהתכנסות מגבירה כזאת אינה סותרת את שימור האנרגיה – זו נשמרת בשני כיווני הזמן – רק שהסבירות לתיאום מושלם כזה היא אפסית. אבל עכשיו, ראו כמה ייחודי הוא זינוק החתול החי: אינספור תנועות מיקרוסקופיות של מולקולות אַקטין ומִיוֹזין המרכיבות את שריריו, לצד עוד מיליוני תנועות מולקולריות במיטוכונדריות ובתאים נוספים, התלכדו – בבת-אחת – לתנועה מתואמת של ארבע גפיים ולזינוק הגוף כולו! איך מצליח החתול לארגן קונספירציה מולקולרית כה מדויקת, ובכך למעשה להפוך את עליית האנטרופיה בתוכו?[6]

ד.     ואם בפרטים מיקרוסקופיים עסקינן, עולה שאלה חריפה יותר: מהו בעצם חתול זה? החומר ממנו עשוי גופו? לחלוטין לא, כי חילוף החומרים הוא המאפיין של כל צורות החיים. אם החתול כבר בן כמה שנים, נותרו בגופו רק מולקולות מעטות מאלה שאִתן נולד. האם הוא אפוא רק צורה טהורה, אידאה אפלטונית של חתול? הרעיון נשמע אווילי אבל דווקא המאפיין העיקרי של החיים – ההשתכפלות – מגלם אותו: אינספור חתולים היו ויהיו לפני ואחרי החתול הזה (ואם זה חתול-בר – כולם עם אותו דגם פסים שיַקשה להבדיל ביניהם, ואפילו באותן טריטוריות) והחתול בעינו עומד. זאת ועוד: חתולים אלה מורישים מדור לדור לא צורות שלמות אלא "גֵנים" לתכונות מבודדות כמו אורך, צבע, צורת שפם וכיוצא באלה תכונות מופשטות, המתחברות באינספור צירופים לצורות שונות, שאף הן שורדות את החומר המתכלה שלהן. האם נגדיר "חיים" כהמחשה לניצחון האידאה על החומר? שמא דווקא החתול מצ'שייר – זה שאפילו חיוכו יכול להתקיים בלעדיו – ממחיש משהו עמוק בטבע החיים?

שני ערכים חשובים, הניתנים למדידה כמותית, עלינו להכיר כדי להשיב על שאלות אלה. א) תגובת החתול היא אמנם פרופורציונית לאותות המגיעים מהאדם המתקרב, אבל לא לכוח האפסי שלהם אלא למידע האצור בהם ולמשמעותו. מידע זה הוא גם השומר על צורת החתול חרף חילוף החומרים במרוצת חייו, ואף אחרי מותו בצאצאיו. ב) גוף החתול מצטיין במבנה פנימי מיוחד, שאינו סדר ואינו אי-סדר, לא אנטרופיה מקסימלית ולא מינימלית, אלא גודל אחר: מורכבות.

ב"מה הם החיים?" אין התייחסות למידע ולמורכבות, למרות שכיום לא ייתכן דיון בפיזיקה של החיים בלי שני גדלים אלה. בימינו הם כבר נעשו לחם חוקם של הביואינפורמטיקה, פיזיקת הכאוס, תורת המערכות ועוד דיסציפלינות מודרניות. שרדינגר עסק רק באנטרופיה, שכנגדה טבע מונח הפוך ובעייתי, "אנטרופיה שלילית." ועדיין, בתוך מדד הופכי זה מקופלים גם המידע והמורכבות, ושורת תובנות חדשות עולה מהם על תופעת החיים.

ג.    התוהו ביסוד החיים

מושג יסודי מרחף על פני הספר הזה, מרכזי בכל מדעי הטבע ובו-בזמן חמקמק ושנוי במחלוקת, כאותה רוח על המים בסיפור הבריאה. ואכן "אנטרופיה" קרובה ל"תוהו ובוהו," והיא גם יסוד הגזֵרה "כִּי עָפָר אַתָּה וְאֶל עָפָר תָּשׁוּב," לאמור, סופם של החיים.

שני פנים לאנטרופיה: המתמטי (תורת ההסתברות) והפיזיקלי (התרמודינמיקה). להמחשתן, הנה חפיסת קלפים מסודרת ולידה בקבוקון בושם. ההסתברות אומרת: חפיסה שנטרפה תתערבב, אבל חפיסה מעורבבת שטרפנו לא תיעשה מסודרת. מחרה-מחזיקה התרמודינמיקה: מבקבוקון שייפתח יתנדף הבושם לאוויר החדר, אבל מאוויר שנעשה מבוּשם לא ישוב הבושם לבקבוקון. מה הקשר בין שתי האמירות? נתחיל מבראשית.

יהא "חומר" כל דבר שיש לו מאסה (מושג החופף חלקית ל"משקל"). תהא "אנרגיה" היכולת לעשות "עבודה," לאמור, להניע מאסה נגד כוח כלשהו, כמו הרמת גוף נגד כוח הכבידה. הרלוונטיות ברורה: בגוף החי יש חומר ואנרגיה, והוא מבצע עבודה, פנימית וחיצונית, על עצמו ועל סביבתו.

אנרגיה ועבודה מתוארים ע"י חוקי התרמודינמיקה (מדע האנרגיה). החוק הראשון מחייב שאנרגיה לא תיעלם ולא תיווצר, גם כאשר תתגלגל מסוג אחד למשנהו. מפורסם יותר, והפוך במהותו, הוא החוק השני של התרמודינמיקה: במערכת סגורה, יכולה האנטרופיה רק לעלות. היא תישאר קבועה כשתגיע למקסימום האפשרי, אך לעולם לא תפחת. 

מהי אם כן האנטרופיה שעלתה בחפיסת הקלפים הטרופה ובבושם המתנדף? איך למדוד אותה? הנה אמת-מידה נוחה: אי-הסדר או האקראיות במערכת. תהיינה שתי חפיסות בנות מאה קלפים ממוספרים, בשתי סדרות:

a.     0000000000111111111122222222223333333333444444444455555555556666666666777777777788888888889999999999

b.    1860271194945955774038867706591873856869843786230090655440136901425331081581505348840600451256617983

ההבדל ברור: a מציגה סדר ו-b אי-סדר. ההנמקה הראשונה היא אינטואיטיבית: שום בר-דעת לא יאמין ש-a נוצרה מערבוב אקראי. אבל למדידת הסדר קיימים גם קריטריונים אובייקטיביים. ראשית, ב-a מכילה כל עשירייה רק ספרה מסוג אחד. שנית, קיימת תלות מקסימלית בין הספרות, כך שידיעת ספרה אחת מאפשרת לנבא בדייקנות איזו באה אחריה או לפניה. שלישית, a ניתנת לדחיסה לנוסחה קצרה יותר: 0x10,1x10…9x10. לעומתה, סדרה b, שנוצרה ע"י מחשב באקראי, חסרה תכונות אלה.

מכאן קל לשוב אל הפיזיקה. מצב "מסודר" שורר כל עוד דחוס כל הבושם בבקבוקון, בעוד אי-סדר הוא פיזורו בחלל החדר. ועוד אמַת-מידה מתמטית: כמה אפשרויות יש למולקולות בושם להידחס יחד, כנוזל, בתוך בקבוקון? הרבה, אבל קיימות לאין ערוך יותר אפשרויות לפיזורן כגז בחלל החדר. כך גם בחפיסת הקלפים: מעט צירופים מסודרים (למשל לסדר את העשיריות בסדר הפוך) לעומת מיליוני צירופים אקראיים. אנטרופיה תימדד אפוא לפי מספר הצירופים האפשריים של חלקי המערכת: מעט עבור סדר, אינספור לאי-סדר.

מכאן נובע עוד מדד פיזיקלי פשוט לאנטרופיה: שיווי-משקל. כאשר כל הבושם נמצא בבקבוקון בטמפרטורת החדר, קיים בתוכו לחץ כלפי חוץ. לכשיתנדף כולו, ישתוו הלחצים מבפנים ומבחוץ. שיווי המשקל חובֵר אם כן לאי-הסדר, והפיזיקה משלימה את המתמטיקה במדדי האנטרופיה. 

האנטרופיה מאפיינת לא רק את החומר אלא גם את האנרגיה לסוגיה. אנרגיה קינטית (תנועה) או חשמלית הן אנרגיות מסודרות כי הן מרוכזות בגוף אחד, הרחק משיווי-משקל, ולכן האנטרופיה שלהן נמוכה. לעומתן, האנרגיה התֶרמית (חום) היא הפחות מסודרת: תנועות זעירות עוברות בין המולקולות, אפילו מגוף לגוף, ומתפשטות באקראי בכל הכיוונים. בואו נדייק עוד קצת: אם האוויר בצדו האחד של חדר חם ובצד השני קר, זו אמנם אנרגיה תֶרמית, אבל עדיין מסודרת יחסית, כי היא רחוקה משיווי-משקל. לפיכך, חום מרוכז מהווה גם מעין אנרגיה פוטנציאלית, המסוגלת לעשות עבודה, כמו דחיפת בוכנה מהצד החם אל הצד הקר. אבל לכשתסתיים עבוד ה זו, תשרור טמפרטורה שווה בכל החדר. בשלב זה, כמות האנרגיה בחדר נותרה בעינה – אפילו אלפי מעלות צלזיוס! – אבל עכשיו כל-כולה תֶרמית, חסרת יכולת לבצע עבודה. נשוב אם כן ונאמר: החום הוא האנרגיה בעלת האנטרופיה הגבוהה ביותר.

כל האנרגיות יכולות, כידוע, להתגלגל זו בזו, בכפוף לחוק שימור האנרגיה. "ג'וּל" (Joule) היא היחידה המבטאת את ערך ההמרה, בדומה להמרות מטבע: כך-וכך אנרגיה קינטית (מאסה כפול מחצית ריבוע המהירות) היא שוות-ערך לכך-וכך וואט חשמל בכך-וכך זמן, או לכך-וכך קלוריות חום. כמות האנרגיה נותרת בעינה במהלך הגלגולים, אבל עכשיו מתערב החוק השני: גלגולים אלה, עקב החיכוכים בין הגופים, ילכו תמיד למטה במדרון הסדר, כך שבסופו של דבר תהפוך כל האנרגיה לחום. למהנדסים יש כאן גם הבחנה מעשית: החוק השני מדרדר אנרגיה נצילה ("מסודרת," שאפשר להפיק ממנה עבודה), לאנרגיה בלתי-נצילה (חום). בקיצור: האנטרופיה תעלה למקסימום.

"מערכת סגורה" אמרנו, כי אמנם אפשר להוריד את האנטרופיה במערכת, אם נשקיע בה אנרגיה מבחוץ, אבל אז תגדל האנטרופיה של אותו "חוץ," כך שהאנטרופיה הכוללת – של המערכת עם סביבתה – שוב עלתה.

כך הולידו הפיזיקה והמתמטיקה את התרמודינמיקה. האנטרופיה הופיעה לראשונה במחקריו של סאדי קַרנוֹ (1796-1832) כבעיה מעשית ביעילות מנועי קיטור. מבעיה זו גזר ניסוי-מחשבה יפה, "מנוע קַרנוֹ," מין מנוע אידיאלי שממנו גזר עיקרון כללי: מכל אנרגיה המבצעת עבודה, תמיד יתבזבז חלק בצורת חום. כעבור כמה עשורים פיתח לודוויג בולצמן (1844-1906) את המכניקה הסטטיסטית כדי לתת הסבר הסתברותי לתופעה זו.

במרוצת השנים זכתה התרמודינמיקה למעמד ייחודי בין המדעים. זאת מפני שחוקיה תקפים לכל מערכת, בלי קשר לסוג החומר המרכיב אותה או לסוג האנרגיה המניע אותה.[7] לכן סבר איינשטיין (1879-1955):

תיאוריה היא מרשימה ככל שהנחותיה פשוטות יותר, ככל שרבים הדברים ביניהם היא קושרת, וככל שרחב תחום יישומה. מכאן הרושם ש[התרמודינמיקה] עשתה עליי. זו  התיאוריה היחידה בעלת התוכן האוניברסלי שאני משוכנע שלא תודח לעולם.[8]

אדינגטון (1882-1944) חידד אמירה זו בנוגע לחוק השני:

החוק לפיו האנטרופיה תמיד עולה תופס, לדעתי, מעמד עליון בין חוקי הטבע. אם יאמר לך מישהו שהתיאוריה שלך על היקום סותרת את משוואות מקסוול – אז שתהיה זו הבעיה של משוואות מקסוול. אם היא נסתרת על-ידי תצפיות – נו, הנסיינים האלה עושים עבודה גרועה לפעמים. אבל אם מתברר שהתיאוריה שלך נוגדת את החוק השני של התרמודינמיקה איני יכול לתת לך תקווה; לא נותר לה אלא לקרוס במלוא הענווה.[9]

והנה החיים, בלי ענווה, אמנם לא סותרים את החוק השני אבל מתגרים בו ללא הרף. איך בדיוק?

ד.    חץ הזמן בדומם ובחי

ברור שהתשובה תלַמד משהו עמוק על טבע החיים. אם חוקי התרמודינמיקה חלים על כל מערכת, הרי הם חלים על כל יצור חי שהוא, אפילו חייזרים שטרם פגשנו![10] זה אם כן המקום בו הפיזיקאי העיוני, המבקש לפשט ולהכליל, ולא טרח ללמוד ביוכימיה, פיזיולוגיה, גנטיקה ושאר מדעים המצריכים הכרת פרטי-פרטים, יכול לומר משהו מעניין על טבע החיים.

להבנת ייחודו של המצב החי נתעכב רגע על עוד ייחוד של האנטרופיה, המתבלט בהשוואתה למאסה ולאנרגיה. שתי האחרונות (כגודל אחד, אם נתחשב בתורת היחסות) אינן נוצרות יש מאין ואינן נעלמות, כך שכַּמוּתן בכל מערכת סגורה תמיד קבועה. אנטרופיה, לעומתן, יכולה רק לגדול – כן, גם במערכת סגורה, כאילו נוצרה שם יש מאין.

חד-כיווניות זו מולידה בעיה. כל האינטראקציות הבסיסיות בפיזיקה מצייתות לסימטריה, הן במרחב (כל תהליך המשתקף בראי, תוך היפוכי ימין-שמאל, הוא אפשרי באותה מידה כמו התהליך המקורי), והן בזמן (כנ"ל לתהליך שצולם בווידאו והוקרן בהיפוך עבר-עתיד). אבל אם חוקי היסוד אינם מבדילים בין שני כיווני הזמן, מדוע גדֵלה האנטרופיה רק בכיוון העתיד ולא בכיוון העבר?

עם שאלה זו התמודד כאמור בולצמן. בעזרת המכניקה הסטטיסטית הוא חישב את כלל האינטראקציות בין המולקולות המעורבות בתהליך. הנה שוב הבושם המתנדף מהבקבוקון: אמנם כל התנגשות בודדת בין שתי מולקולות, וכן בין מולקולה לדופן הבקבוקון, היא סימטרית בזמן, ואכן היא מתרחשת מדי פעם במהופך: קורה שמולקולת בושם מאוויר החדר חודרת אל הבקבוקון דרך הפתח. אבל כל ההתנגשויות יחד, על פי חוקי ההסתברות, מוליכות מהמצב הנדיר של הסדר, לאמור, נוזל בלחץ בתוך הבקבוקון, אל אחד מאינספור המצבים השכיחים של אי-הסדר, בו מרחפות המולקולות כגז בחלל החדר.

הסימטריה בזמן נכונה אם כן רק לאינטראקציות הפשוטות ביותר, כמו פגיעת חלקיק אחד במשנהו. כשמספר החלקיקים עולה על שנַיים, ובמיוחד בגופים גדולים היוצרים חיכוך, משתלט גידול האנטרופיה. בלשון הסתברותית ופיזיקלית כאחד: זהו תהליך בלתי הפיך, לאמור, נצטרך לחכות הרבה מיליארדי שנים כדי לראות בקבוקון בושם אשר, עקב צירוף נדיר של תנועות מולקולריות באוויר החדר, מתמלא "במקרה" מחדש. כך מציבה האנטרופיה "חץ זמן" המבדיל בין עבר לעתיד.

הניגוד שב אפוא: גם לחיים יש חץ זמן ברור: מלידה לבגרות, לזקנה ומוות, וללידת דור חדש. בתהליכים אלה איננו רואים גידול אנטרופיה אלא לכאורה את היפוכו: גידול בסדר ובמורכבות. מדוע מתקדם חץ הזמן הביולוגי, לפחות בתוך האורגניזם, בכיוון הפוך לזה של עליית האנטרופיה?

בא שרדינגר וחידד את השאלה. "מטבוליזם" פירושו שהאורגניזם קולט ופולט חומר, הבונה את גופו, וגם אנרגיה, המפעילה חומר זה. אבל רגע, למה בכלל להחליף חומרים ואנרגיות במקום לשמור בפשטות על החומר והאנרגיה שכבר קלטנו? נחשוב למשל (בעקבות שרדינגר, עמ' [81]) על אסטרואיד בחלל החיצון המסתחרר כסביבון: הוא ימשיך להסתובב לנצח, אפילו בתנועות מורכבות. ואם יש לו מאסה גדולה ושדה כבידה, יחוגו עוד כמה גופים סביבו וסביב עצמם. כל המערכת הזאת תמשיך בפעולתה המרהיבה בלי להחליף מאומה עם סביבתה, ודי לה באנרגיה הקינטית שכבר קיימת בה. במה שונה אם כן הגוף החי? לאור הנאמר לעיל השאלה לא קשה: המערכת בחלל, למרות התנועה המרובה הרוחשת בה, אינה עושה כל עבודה ואין בה חיכוך. לעומתה הגוף החי עושה עבודה מתמדת על סביבתו. לכן, חילוף החומרים בגופנו מציית לשימורי החומר והאנרגיה – מה שנפלט שווה למה שנקלט.

כאן מציג שרדינגר את החידוש: שווה בכמותו אבל לא באיכותו! בחומר ובאנרגיה שהאורגניזם קולט האנטרופיה היא שלילית, ובאלה הנפלטים ממנו היא חיובית, וכך נמנעת עליית האנטרופיה בתוכו. דומה הדבר למנוע: בדלק הנכנס יש פחות אנטרופיה מאשר בתנועות שמייצר המנוע, ובוודאי מאשר בחום הנפלט ממנו. השימוש באנרגיה הנכנסת כדי להפוך את עליית האנטרופיה הוא העומד ביסוד המצאת הגלגל, הטורבינה, המדחף ואפילו המעגלים הכימיים הזעירים בתוך התאים שלנו: כל מנת אנרגיה הנכנסת למכונה מנוצלת לעשיית עבודה על משהו, אבל חלק קטן מהעבודה נעשה על המכונה עצמה, כדי להחזיר אותה למצבה הקודם לקראת מנת האנרגיה הבאה.

אבל האם זה כל ייחודו של האורגניזם, האנלוגיה לגלגל ולמכונה? ברור שלא, כי שרדינגר מחפש את הבנת  החיים בהיבט המולקולרי, כלומר ביחסי-גומלין ייחודיים בין העולם המיקרוסקופי והמציאות המאקרוסקופית. זוכרים את החתול שזינק פתאום בגן? הוא לא סתם מנוע – מכאן אנרגיה נכנסת ומכאן יוצאת – אלא צירוף מופלא של מיליארדי מנועים זעירים, שבתוכם יש לפעמים מנועים זעירים עוד יותר. כל אחד מהם עושה פעולה מיקרוסקופית, אבל כולם יחד – בתיאום מופלא – מבצעים בבת-אחת מעלל אדיר ויעיל, מניתור החרגול עד הסתערות היפופוטם. כי כן, לא סתם אנטרופיה שלילית לפנינו. קיימים עוד סידורים מיוחדים של חומר ואנרגיה המאפשרים את פלא החיים.

ה.   החיים בין תוהו לסדר: הפיזיקה של המורכבוּת

ואכן לא בכדי זכה שרדינגר גם לביקורת על פשטנות יתר בהסברת החיים. כי די בהסתכלות רגילה לראות שהחיים כלל אינם היפוכה הגמור של האנטרופיה, אלא נעים בין שני הקטבים על ציר הסדר/אנטרופיה.

מצד אחד, מבנה הגוף החי הוא הכי רחוק מאקראיות: אינספור חלקיו מציגים סדירויות מובהקות בחלל ובזמן, כל מיני סימטריות, מחזורים, והרבה מאוד יופי. כל אלה ייעלמו – ואז האנטרופיה אכן תעלה – כשהאורגניזם ימות. חיים, אם כן, רחוקים מאוד מאנטרופיה. אבל מצד שני, האורגניזם רחוק מאוד מלהיות מסודר לחלוטין: אם נביא את החומר והאנרגיה שבו למינימום אנטרופיה, נקבל כמה גבישי יסודות חומר טהורים ויפים בטמפרטורת האפס המוחלט, לצד אנרגיית קרינה מרוכזת במיכל כלשהו – בקיצור: הרגנו אותו!

זה אם כן הזמן להתוודע אל הגודל הבא, שלא בכדי יש המכנים אותו "סיבוכיות" בעוד אנו נעדיף "מורכבות."[11] מסובך? מורכב? נעשה את זה פשוט.

בפרק ב' ראינו שתי סדרות בנות מאה ספרות, סדרה a הייתה מסודרת לחלוטין, ו-b אקראית לחלוטין. מה נאמר אם כן על זו השלישית?

3. 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679

לכאורה, גם c היא אקראית, זאת על פי שני הקריטריונים הראשונים שמנינו, דהיינו, פיזור הספרות והתלות ביניהן. ברם, יש בוודאי מי שזיהו כאן את המספר המפורסם – π (פַּיי) אחרי הנקודה העשרונית – שהוא רחוק מאוד מאקראיות. כמו הסדרה המסודרת a, גם c ניתנת לדחיסה. למשל, הקירוב 104348:33215 מדייק עד הספרה ה-13. יש נוסחאות יותר מסובכות שמדייקות עד מיליוני ספרות אחר הנקודה, ולכן מצטיינות בדחיסות גבוהה הרבה יותר. נוסחאות אלה הן "אלגוריתמים" (דרכים מוגדרות) לייצור פַּיי. האלגוריתם אם כן הוא "מעט המחזיק את המרובה." הנה אפוא הייחוד שחיפשנו לסדרה c: קיומו של אלגוריתם מעיד כי היא מורכבת.

כך אכן הגדיר צ'ארלס בֶּנֵט (Bennett, נולד 1943) את ייחודה של המורכבות, מתוך ניגודה הן לסדר והן לאקראיות.[12] סדרה a ניתנת כזכור לדחיסה לאלגוריתם קצר, בעוד האלגוריתם של b ארוך כמעט כמו b עצמה. אולם לשתי הסדרות המנוגדות יש דווקא תכונה משותפת: בשתיהן, דחיסת הסדרה או הפקתה מהאלגוריתם שלה – בין אם הוא קצר או ארוך – אינה דורשת הרבה חישוב. ב-a נדרשת אריתמטיקה פשוטה, וב-b די בסתם העתקה. שונה הדבר ב-c (שהיא כאמור המספר פַּיי): נדרשו גדולי המתמטיקאים לדחוס אותה לנוסחה קצרה, וגם הפקתה דורשת חישוב ניכר. בהכנסה זו של גורם החישוביות, עברנו מהמתמטיקה אל הפיזיקה, כי חישוב גם הוא סוג של עבודה, הצורכת זמן ואנרגיה, ובכך שבנו גם אל הביולוגיה. 

חיים, אם כן, הם מבנה פרדוקסלי: מדויק מאוד ברוב פרטיו, ויחד עם זאת רחוק הן מסדר והן מאי-סדר, כיוון שכל חלקיו בנויים בהתאמה על פי אלגוריתם מדויק. ניסוח זה מעניק משמעות חדשה למולקולה של שרדינגר: למבנה האורגניזם יש מורכבות גבוהה, כי הוא ניתן להפקה מאלגוריתם הרבה יותר קטן: ה-DNA! בכל דור שב האורגניזם להידחס אל האלגוריתם שלו כדי להיות מופק שוב בדור הבא.

להמחשה, יהיו נא שלושה גופים באותו גודל: יהלום, גוש עפר, ובטטה. היהלום הוא מסודר לחלוטין, גביש פחמן טהור. היפוכו גוש העפר: תערובת אקראית של יסודות ותרכובות. מהי לעומתם הבטטה? היא נראית אמנם כתערובת אחידה, אבל ברמה המיקרוסקופית היא עשויה מרבבות תאים, מסובכים מאין כמותם אבל דומים להפליא, המבצעים פעולות דומות ומתואמות. הבטטה היא אם כן בעלת מורכבות גבוהה, הן בחומר והן באנרגיה. זו לא האנרגיה הקינטית המסודרת של היהלום או גוש העפר למקרה שנזרוק אותם באוויר, וגם לא האנרגיה התרמית המבולגנת שתהיה להם אם נחמם אותם. האנרגיה שבעמילן הבטטה היא אנרגיה כימית, פוטנציאלית, החבויה במנות קטנות בתוך התאים, ויכולה להתבטא בצורה מסונכרנת בהצמחת שורשים ועלים. בהמשך האבולוציה תשתכלל מורכבות אנרגטית זו עד ליכולת להפיק אנרגיה מכאנית מתפרצת, כמו בזינוק החתול בו התחלנו.

והסביבה בה חי האורגניזם? גם היא אינה מסודרת לחלוטין ולא אקראית לחלוטין. אילו היו מתרחשים בה אירועים אקראיים בלבד, לא היו חיים יכולים להתקיים בה. מצד שני גם האקראיות קיימת, ובלעדיה לא היו מוטציות ב-DNA, ולא היו חיים. גם המציאות הפיזיקלית דומה אם כן לסדרה c, לאמור, יש בה סדר חבוי על פי אלגוריתם מסוים. במילים אחרות: גם הסביבה שאליה חייבים החיים להסתגל היא בעלת מורכבות גבוהה.[13] כשפרח החמנייה מסתובב במהלך היממה בכיוון השמש, הוא משתמש באלגוריתם שקיבל מאבותיו כדי לנצל את המורכבות של היקום – במקרה זה החוקיות האסטרונומית – ליצירת המורכבות הביולוגית שלו, וכשאנו אוכלים גרעיני חמנייה, אנו ניזונים ממורכבותה לצורך יצירת מבנים מורכבים יותר.

המורכבות היא אם כן סוג מיוחד של אנטרופיה שלילית, הזורמת מהשמש ומהסביבה אל האורגניזם ומשם לאורגניזמים אחרים במעלה הסולם האקולוגי.

ו.      עץ החיים הוא עץ דעת: הפיזיקה של האינפורמציה

השאלה מתחדדת. התרמודינמיקה הראתה איך נוצר אי-סדר מתוך הסדר ולהיפך, לאמור איך עולה האנטרופיה (מאליה) ואיך היא יורדת (ע"י התערבות חיצונית). אבל אם האורגניזם אינו ממש מסודר אלא מורכב, איך נוצרת מורכבות זו מתוך הסדר שממנו הוא ניזון?

נשוב אל הספָרות, וניתן דעתנו על הסדרה הבאה:

4. 29979245800

היא נראית אקראית, אבל לפיזיקאי העיוני היא מספר יסוד להבנת היקום: הקבוע c, מהירות האור בסנטימטרים בשנייה. סדרה d נושאת אם כן מידע, רב-ערך ומדויק.[14] כאן מתחילים אנו לחרוג מהדיון המתמטי הטהור. למדידת המידע לא די בניתוח הסדרה, כמו במדדים הקודמים של סדר ומורכבות. מידע פירושו זיקה בין סדרת אותות לבין מציאות חיצונית כלשהי, בין אם זו סדרה אחרת ובין – וזו האפשרות המעניינת יותר – מערכת פיזיקלית מורכבת, או גוף חי.

וכמו בדיון הקודם על האנטרופיה, גם בהבנת מושג המידע ניתן לעבור מסדרת הספָרות אל עצמים ממשיים: מידע, חשוב או סתמי, מדויק או מטושטש, צפון בכל סידור של חומר ואנרגיה סביבנו, זמין לכל מערכת שתדע לנצל אותו. ומכיוון שב-DNA עסקינן, הרלוונטיות לענייננו ברורה אף היא: מה הם החיים אם לא ניצול תמידי של מידע?

היבט זה של החיים עלה כמה עשורים לפני שרדינגר, בעבודתו של אחד מגאוני הפיזיקה במאה התשע-עשרה. כמו החתול בקופסה, גם זו הייתה חידה על יצור דמיוני במערכת סגורה, וכמותה, גם זו שפכה אור על טבעם של אורגניזמים החיים בסביבתם הטבעית.

ג'יימס קלרק מקסוול (Maxwell, 1831-1879) הספיק בחייו הקצרים להיות לא רק מגלה האלקטרומגנטיות אלא גם אחד ממייסדי התרמודינמיקה, ובה הותיר את אחד הפרדוקסים הפוריים בתולדות המדע.[15] תהא, אמר מקסוול, קופסה מלאה אוויר, מחולקת לשנים ע"י מחיצה, ובמחיצה דלת זעירה, שדרכה יכולה לעבור רק מולקולה אחת. שֵד זעיר עומד ליד הדלת. הוא פותח אותה בכל פעם שמולקולה מהירה עוברת בפתח מימין לשמאל, או כשמולקולה איטית עוברת משמאל לימין, וסוגר במקרה ההפוך, מה שיגרום למולקולה לשוב אחורנית באותה מהירות. עם הזמן, יצטברו כל המולקולות המהירות בצד שמאל, וכל האיטיות בימין. האוויר, שהיה מלכתחילה בטמפרטורת החדר, נעשה עכשיו לוהט בצד שמאל וקפוא בצד ימין. האנטרופיה ירדה! המוזר הוא שפתיחת וסגירת הדלת אינה מצריכה השקעת אנרגיה גדולה, ולכן עליית האנטרופיה תהיה זניחה לעומת הירידה שהושגה ע"י מיון המולקולות – סתירה לחוק השני!

פתרונות שונים הוצעו לבעיה זו, חלקם מטאפיזיים, כגון הטענה שהחיים או התודעה מפֵרים מעצם טבעם את חוקי עולם הדומם. רק בראשית המאה העשרים מצאו ליאו סִילַארד (Szilárd, 1898-1964) ואחריו ליאון ניקולא בְּרִיוּאֵן (Brillouin, 1889-1969) פתרון פיזיקלי. כדי לבצע את מיון המולקולות, ציינו, זקוק השדון למידע. נזכור כי אם האוויר בתוך הקופסה הוא בשיווי משקל מוחלט, אזי גם האור שבתוכה, רב ככל שיהיה, נמצא בשיווי-משקל כזה (כלומר דפנותיה מחזירות-אור ואינן מתחממות). דומה הדבר לחום בחדר הסגור בו עסקנו לעיל, שאינו מאפשר עבודה בהגיעו לשיווי-משקל. גם כאן, אפילו שפע אור בתוך הקופסה לא יאפשר ראייה! יש אם כן להכניס לתוכה מקור אור נוסף, כמו פנס. כאן מתברר דבר מפתיע: השקעת האנרגיה הנוספת, הדרושה רק לראיית המולקולות בתוך האור הקיים, תגדיל את האנטרופיה הרבה יותר מפתיחת/סגירת הדלת.

תורה חדשה, תורת האינפורמציה, נולדה על יסוד תובנה זו: כל פעולה הקשורה במידע – יצירתו, עיבודו, העברתו או מחיקתו – מחייבת מינימום כלשהו של אנרגיה.

אם מידע הוא גודל פיזיקלי כמו אנרגיה ואנטרופיה, איך למדוד אותו? ג'ון פון-נוימן (von Neumann, 1903-1957), בהברקה תיאורטית, אימץ לצורך זה את מדד האנטרופיה, וליתר דיוק את ההיבט המתמטי שלו: אי-הסדר. יוגדר אלף-בית כלשהו, שממנו אמור מישהו לשלוח אלינו אות אחת ("ביט"). מספר כל אותיות הא"ב מייצג אם כן את אי-הידיעה שלנו טרם קבלת האות. מיד מזדקרת האנלוגיה לאנטרופיה: אי-ידיעה זו מקבילה לבורותנו בנוגע לסידור המדויק של מולקולות הבושם בבקבוקון לעיל. מיקומה של כל מולקולה קל יותר לידיעה במצב המסודר, שבו כל הבושם דחוס כנוזל בתוך הבקבוקון, מאשר בגז הממלא את החדר. נשוב אל האות שנשלחה אלינו: מרגע שקיבלנו אותה, הצטמצמה הבורות לגביה עד אפס. היחס בין אי-הידיעה לפני שהתקבלה האות (במקרה של כתב: מספר אותיות הא"ב) לבין הידיעה אחרי קבלתה, הוא אפוא כמות המידע באות זו. כמה יפה: התרמודינמיקה, שנתנה מדד לאנטרופיה, מציעה אותו עתה גם כמדד למידע.

ניתן, אם כן, להשיג ירידה ניכרת באנטרופיה גם בהשקעה פחותה של אנרגיה, בתנאי שייעשה שימוש במידע המתאים. על פתרון זה לפרדוקס השדון של מקסוול עטו חלוצי הביולוגיה כבר בדורו של שרדינגר והצביעו על יישומיו הרבים להבנת החיים. מה שהיה פרדוקסלי בקופסה הסגורה מעניק הבנה חדשה במערכת הפתוחה. ג'.ב.ס. הולדיין (Haldane, 1892-1964), כמה שנים אחרי "מה הם החיים?", הצביע על האנזים כשדון מקסוול חוקי: המידע כבר טבוע באנזים בעצם מבנהו המולקולרי, המתאים בדייקנות למבנה מולקולות הסוּבּסטרַט שעליהן הוא פועל. מנגד, הסביבה הפתוחה מספקת לאנזים את האנרגיה ללכידת הסובסטרטים הדרושים לפעולתו: בתמיסה חמה, מתרוצצות המולקולות בצורה מוגברת המגבירה את הסיכוי שייתקלו באנזים. ממילא חלה הבחנה זו גם על ה-DNA אשר, לצד חלבוני הפולימראז, פועל גם הוא כאנזים המשכפל את עצמו מארבעת מולקולות-היסוד. האורגניזם, אם כן, הוא שדון מקסוול נטול פרדוקס. הוא חי לא בקופסה סגורה אלא בביוספרה רוחשת, ומצויד ב-DNA האוצֵר שפע של מידע.

מידע – אודות מה? בוודאי שלא רק על ה-DNA עצמו לצורך שכפולו, אלא על הרבה מאוד מעבר לו: זו סדרת הוראות להרכבת האורגניזם המסובך מאין כמותו. ואפילו הבחנה זו עדיין לא ממצה את חשיבות המידע הגנטי, וכאן משתבצת תורת האבולוציה במלוא הדרה: ה-DNA מכיל מידע על הסביבה, שאליה הסתגל האורגניזם במהלך אינספור דורות, ועל מידע זה מבוסס המידע להקמת האורגניזם, שינצל סביבה זו בתחכום מעורר פליאה.

העיקרון פשוט: אם השגת מידע עולה אנרגיה, הרי מידע שכבר הושג יכול לחסוך באנרגיה. נחשוב על כספת נעולה. ניתן להגיע אל מה שבתוכה בעזרת מגוון כלי פריצה וברוב עמל ומהומה, וניתן לפתוח אותה בקלילות במפתח, בכרטיס מגנטי או בהקלדת מספרים נכונה. המידע מאפשר ביצוע עבודה תוך שימוש באנרגיה מינימלית, אבל בדיוק במקום ובזמן הנכון.

כל עולם החיים מתגלה בפנינו באור חדש לאור הבנה זו. טיגריס בג'ונגל ההודי משקיע הרבה אנרגיה במרדף אחרי הטרף ובקטילתו. אבל קוברה באותו ג'ונגל עושה משהו הרבה יותר עדין: נעיצת שיני ההכשה ונסיגה מיידית. בארס שהוזרק בהכשה זו מוצפן מידע כימי רב-ערך: זהו נוירוטוקסין (רעל עצבים), ובמקרה זה קוברוטוקסין, ארס ייחודי לקוברות שמבנהו המולקולרי דומה מאוד לזה של האַצֵטילכוֹלין שבמערכת העצבים והשרירים. עכשיו צריך הקוברה רק לעקוב אחרי הטרף ולראותו הולך ונחלש עקב שיתוק כל שריריו, והארוחה מוכנה. רק מעט אנרגיה הושקעה, אבל בדייקנות מולקולרית, במקום הנכון ובזמן הנכון בתוך תאי הגוף.

וכפי שבגנום של הנחש מצטבר במהלך הדורות מידע על הפיזיולוגיה והכימיה של קורבנותיו, כך הדבר בכל הסתגלות אבולוציונית: היא מבוססת על מידע על הסביבה אליה מסתגל האורגניזם. נכון, האינדיבידואל לא שילם על ידע זה את המחיר הנדרש באנרגיה, אבל אנחנו יודעים היטב מיהו ששילם: אינספור דורות של קודמיו, שמכולם שרד רק אחוז אפסי בעוד הרוב המוחלט נפל טרף לברירה הטבעית. רק נסו לדמיין כמה דורות של אנשים גוססים מהרעלה בין אבותינו נוחם-עדן "תרמו" כך לכתיבת מדריכי ליקוט הפטריות שלנו!

ההיבט הביולוגי מאפשר להוסיף עוד מדד לתורת המידע. קל למדוד את כמות המידע ודיוקו, אבל מה בקשר להיבט החשוב ביותר – ערך המידע? בּרִיואֶן, למשל, סבר שהוא סובייקטיבי לחלוטין. בדוגמה שהביא, E=mc2, טען שהיא מכילה אותו מידע כמו כל צירוף אחר של חמש אותות. חוקרים אחרים לעומתו סבורים שגם לערך המידע יש אמת-מידה אובייקטיבית. בהקשר שלנו, ההנדסי והביולוגי, אמת-מידה זו היא ברורה: כמות האנרגיה הנחסכת בביצוע עבודה כלשהי תוך שימוש במידע מסוים, לעומת האנרגיה שהייתה נדרשת בלי אותו מידע, היא מדד טוב לערכו. 

אם גם מידע הוא צורת סידור מיוחדת של חומר ו/או אנרגיה, היכן למקם סידור זה על ציר הסדר? השאלה דומה לזו בה עסקנו בדיון על המורכבות. מצד אחד, מידע אינו סדר מושלם: משפט שכל המלים בו מכילות רק א', או רצף DNA שכולו A, אינם יכולים להכיל הרבה מידע. לכך כיוון גם שרדינגר כששיער שמדובר ב"גביש לא מחזורי." מצד שני, מידע גם אינו אי-סדר: כל חלק בו (האות הבודדת) חייב להיות בדיוק במקומו, כל האותות קשורים באופן הדוק זה בזה, וכמובן כל האותות קשורים גם לחלקיה המקבילים של מציאות חיצונית כלשהי, שאף היא אינה אקראית. אכן כל מפענחי הצפנים, ובהם גם מדעני פרויקט "סטי" המחפשים אותות חיים תבוניים מהחלל החיצון, מחפשים חריגות מהאקראיות כדי לזהות מידע. ועוד זיקה בין סדר ומידע: יצירת שניהם מצריכה אנרגיה.

חלקי התשבץ מתחילים להתחבר. מורכבות ומידע מציגים סידורים מיוחדים של חומר ואנרגיה, שאינם סדר מוחלט וגם לא אקראיות מוחלטת, אלא סדר פנימי עמוק המתגלה רק ע"י עבודת חישוב. האלגוריתם הוא המפתח לגילוי הסדר החבוי במורכבות, ולכן הוא מהווה מידע בעל ערך גבוה. הן הידע המדעי והן הידע הגנומי הם אלגוריתמים של מורכבות היקום.

ז.     מידע ורעש ב"מה הם החיים?"

מי שהיטיב לבטא את נחיצות המידע לחיים היה, כמובן, שרדינגר. בפרק הראשון מופיעים שלושה תת-פרקים עם כותרות סותרות-לכאורה: מחד "תפקוד האורגניזם מצריך חוקים פיזיקליים מדויקים," ומאידך "חוקים פיזיקליים נשענים על סטטיסטיקה אטומית ולכן הם תקפים רק בקירוב," ואחריו "רמת הדיוק של חוקים מבוססת על מספרם הגדול של האטומים המעורבים." חוקי הטבע, אומר שרדינגר, הם למעשה סטטיסטיים, בהיותם מעורבבים בהרבה "רעש" אקראי, בעיקר ברמה האטומית. לפיכך, חייב האורגניזם להיות גדול מספיק כדי לזהות חוקים אלה מבעד לרעש המטשטש אותם. זוהי משימת היסוד של תורת המידע: התגברות על היחס אות/רעש.

שרדינגר מציג אפוא את "חוק השורש הריבועי" של יחס זה. ניזכר לדוגמה במבנה האנטנה. צלחת קעורה קולטת ממקור רחוק אות אלקטרומגנטי, הפוגע באינספור נקודות על פני המשטח הפנימי שלה. בכל אחת מהנקודות הללו – נסמן את מספרן ב-n – נקלט גל ממקור הקרינה, הוא ה"אות" שנסמן ב-s, אבל גל האות מעורב בגלים ממקורות אחרים, לאמור, "רעש," Δs, כל הקרינות המעורבות הללו מוקרנות חזרה מהצלחת אל חיישן קטן מעליה במרכז. כאן מופיע היתרון: האות המגיע מכל נקודה הוא קבוע, בעוד הרעש הוא אקראי. לכן מתחברים האותות בצורה מובהקת וכך מוכפלת עוצמת האות: ns. שונה הדבר בגלי הרעש הנלווים לאותות: הם מחזקים זה את זה בצורה הרבה יותר חלשה, , וכך למעשה מחלישים זה את זה לעומת האותות. בשל הבדל זה מתקבל לבסוף מידע נקי יותר: . על עיקרון סטטיסטי זה פועלות כל האנטנות, המחושים, רשתיות העין ושאר מכשירי מדידה ביולוגיים וטכנולוגיים.

האורגניזם בו פותח שרדינגר הוא מקבילה מובהקת לצלחת אנטנה זו. אפילו בווירוס טבק בודד יש כמיליון אטומים, והוא מגיב עם הרבה יותר אטומים בסביבתו. בזכות חוק השורש הריבועי יכול הווירוס לנצל את חוקי הפיזיקה והכימיה והביולוגיה הדרושים להישרדותו, מעבר לתנודות האקראיות של האטומים.

אבל אם האינדיבידואל מתגבר על הרעש האטומי בזכות גודלו העל-אטומי, מה בנוגע לאוכלוסייה? כאן מדובר באורגניזם שאינספור עותקים שלו – עם כל מיני מוטציות – נמצאים באינספור מקומות וזמנים על פני כדור הארץ. בכל מקום וזמן, נחשף עותק בודד לכל מיני אירועים אקראיים לחלוטין, המשתנים מרגע לרגע וממקום למקום. מאידך, בכל מקום וזמן פועלים גם הקבועים של הטבע לצד הרעש האקראי. הברירה הטבעית מותירה רק אחוז אפסי מהעותקים הנוצרים בכל דור, אבל באחוז אפסי זה מתקיים הכלל ההסתברותי לעיל: נותרות יותר מוטציות העמידות בפני קבועי הטבע ולא בפני אירועים אקראיים. הנה למשל האליגטור, טורף-העל של הנהרות: בכל עונה, ביציו וצאצאיו נטרפים בהמוניהם על ידי דגים, ציפורים ויונקים – כל אלה שהאליגטור המבוגר זולל בכל פה. למה אינו בוחר, אם כן, באסטרטגיית רבייה יותר חסכנית של הבאת פחות צאצאים ושמירה יותר הדוקה עליהם, כפי שעושה, למשל, ההיפופוטם? הבזבוז האדיר לכאורה של חומר ואנרגיה מאפשר לגנום של האליגטור לצבור יותר מידע על הסביבה. במספרים יותר גדולים, כפי שקורה באוכלוסיות חיידקים ונגיפים, די ביתרון הזעיר ביותר, כמו עמידות לטמפרטורה הממוצעת באזור כלשהו, יכולת להגיב לקרינה באורך גל מסוים או רגישות לשדה המגנטי של כדור הארץ, כדי שיתרון זה ייעשה בהדרגה דומיננטי באוכלוסייה,[16] ובכך יסלול את הדרך ליתרון הזעיר הבא.

ח.   סיכום: חיים תבוניים בטרם תבונה

התמונה העולה מכל האמור לעיל מתחילה להתלכד. ה-DNA הוא מולקולה נושאת מידע. אבל זה רק קצה קרחון הפלא הקרוי חיים. המידע שב-DNA מפוענח ליצירת אורגניזם גאוני ביעילותו ומורכבותו – ואז משתכפל האורגניזם עם המולקולה לאינספור עותקים. להשתכפלות זו השלכה דרמטית: מולקולה אחת נמצאת למעשה באינספור מקומות בו-זמנית ובאינספור זמנים בכל מקום. האם יש דרך טובה יותר לאגור מידע על העולם? לא סתם מידע מציג ה-DNA, אלא תהליך של הפקת מידע, אגירתו, הצלבתו, פענוחו ושכלולו – אינטליגנציה במלוא מובן המילה.

האוכלוסייה, נזכיר, מפיקה ומבודדת מהסביבה את מדדיה הקבועים על פי "חוק השורש הריבועי" של שרדינגר (‎ו). זהו אם כן זיקוק מידע מתוך רעש. איזה מידע, אם כן, נאגר ב-DNA? בפשטות – אותו מידע שמחפש גם המדע: ערכים בטבע הנותרים קבועים מעבר לתנודות האקראיות במקום ובזמן, ובעצם: חוקי הטבע עצמם. נכון, בשום מקטע ב-DNA לא נמצא את חוק ארכימדס, למשל, רשום באותיות ארבעת הנוקלאוטידים, אבל בכל דג, דולפין או כל יצור אחר החי במים, מכתיב ה-DNA יחס משקל/נפח המנצל בדייקנות את החוק הזה. הוא הדבר בסטַטוֹליטים, אבני עמילן זעירות המרחפות בנוזל תא הצמח ומאפשרות לו לחוש את כיוון כבידת האדמה. הוא הדבר גם בחתול שלנו: אם נפיל אותו באוויר כשרגליו למעלה, הוא יתהפך מיד תוך נפילה וינחת על ארבעתיו, כי המידע בגנים האחראים למערכת העצבים שלו מסתמך על חוק שימור התנע הסיבובי. כך בחוקי ניוטון ובקבוע הכבידה g, עליהם מסתמכים סנפירים, גפיים וכנפיים, וכך במגוון עקרונות פיזיקליים ומתמטיים עליהם מסתמכות הכימיה, האנטומיה והפיזיולוגיה של כל יצור חי. בקיצור, כבר מהפרק הראשון ב"מה הם החיים?" עולה כי האורגניזם הוא, בפשטות, מדען!   

תובנה זו צמחה מעבודותיהם של שני אוסטרים אחרים, פילוסוף המדע קארל פּוֹפַּר (Popper, 1902-1994) והזואולוג חתן פרס נובל קונראד לורנץ (Lorenz, 1903-1989), שפיתחו את תורת "האפיסטמולוגיה האבולוציונית" החוקרת את גידול הידע הביולוגי והמדעי.[17] צבירת ידע, גם ברמה האבולוציונית, פירושה עריכת ניסויים, ניסויי ביקורת, מדידות, הפרדת אותות, הגברה, זכירה, למידה, הצלבה ופעולות קוגניטיביות וחישוביות מתקדמות אף יותר. כשהחצב מגדל עמוד תפרחת עוד לפני שירדה טיפת גשם, הריהו עושה אינדוקציה בנוגע לקשר בין התקצרות הימים לבין בוא החורף. ובהכללה: כל מוטציה חדשה היא היפותזה על העולם, שהברירה הטבעית מעמידה לאישוש או להפרכה. התחרות בין המינים גורמת שידע זה מתפתח עד מהרה לידע מסדר שני, כמו שהאלגברה התפתחה על גבי האריתמטיקה. כך לדוגמא, בעלי-חיים שונים למדו את מחזור-השנה ופיתחו מחזורי-חיים של שלוש, ארבע שנים ויותר. באה משפחת ציקדות ופיתחה – שלוש פעמים ובאופן בלתי-תלוי – זוג מחזורי-חיים של המספרים הראשוניים 13 ו-17 שמנעו מצאצאיה את סכנת המפגשים המחזוריים עם צאצאי הטורפים.[18]

זאת אף זאת, מרגע שהגיעה האבולוציה לאפשרות של החלפת גנים, כמו ברבייה המינית, החל הגנום להגיב לא רק לסביבות שלמות אלא למאפיינים נפרדים שלהם: טמפרטורה, לחץ אוויר וכו'. כך התפתחו גנים האחראים לרכיב בודד של האורגניזם: אורך, משקל, ואפילו פרופורציות מתמטיות מופשטות. יכולת ההפשטה של הגנום עולה ממחקריו מרהיבי-העין של דארסי וונתוורת' תומפסון (Thompson, 1860-1948).[19] הנה לדוגמא, דג השמש הפחוס נראה שונה לחלוטין מהכריש המוארך, אבל אם נשים את שני הדגים על רשת צירים, די בטרנספורמציה פשוטה של רשת זו כדי לקבל את צורת הדג הראשון מזו של השני, ולהיפך! תומפסון, למרבה העניין, התעלם מהגנטיקה, אבל זו הגנטיקה שרק בשנים האחרונות מסבירה את ממצאיו – ובכך שופכת אור חדש על האבולוציה – במונחי ההירארכיה של הגנים. מוטציה בגן מפקח מסוים גוררת מוטציות מתואמות בגנים הכפופים לו. זו הסיבה שמוטציה הגורמת, לדוגמא, לשינוי בעצם אחת, באה עם מוטציות תואמות בעצמות הסמוכות לה, כך שהשינוי הוא בתבנית שלמה ולא בגודל בודד. כי כן, חיוכו של החתול מצ'שייר, העומד בפני עצמו, אינו רק וריאציה עליזה על טענת אפלטון בדבר קדמות הצורה לחומר, אלא מהות התורשה והחיים כולם.

"מהאמבה עד איינשטיין," אומר פופר, "גידול הידע תמיד זהה: אנו מנסים לפתור את בעיותינו, ולהשיג, בדרך האלימינציה, התאמה בפתרונותינו הזמניים."[20] כל לימוד מתקדם בדרך של ניסוי וטעיה, אבל באבולוציה נכחד ה"מדען" המגלם היפותזה שהופרכה, בעוד תהליך החשיבה מסתפק בהכחדת המעגל הנוירונלי השגוי האחראי לה.

אלה, אם כן, הם פני האנטרופיה השלילית מהם ניזון תהליך הלימוד הביולוגי והפסיכולוגי. ביקום שורר סדר, והוא, בפשטות, חוקי הפיזיקה. מבין חוקים אלה, חוק מוזר אחד – החוק השני של התרמודינמיקה – דווקא מערפל את כל חבריו: את הסדר של החוקים הוא מערבב באקראיות, שההיבט הפיזיקלי שלה הוא האנטרופיה, פיזור החומר והאנרגיה בצורה המטשטשת את החוקיות. פיזור כזה, מבחינה מתמטית, מהווה מורכבות, לאמור, הוא נראה אקראי, אבל לעולם חבויה בו החוקיות הראשונית. היקום, אם כן, מציג אינספור אירועים הנראים אקראיים אבל עדיין נשלטים בידי חוקי הפיזיקה. סידור מסוים של אותות, המחלץ מתוך המורכבות את הסדר הנסתר, נקרא מידע. בשפה טכנית יותר, מידע כזה הוא האלגוריתם המקוצר של מורכבות הסביבה או היקום, והוא נעשה יותר ויותר רב-ערך ככל שנדחס בו יותר מידע וביתר דיוק. כך עושה האבולוציה כשהיא יוצרת הסתגלות למגוון הולך וגדל של סביבות, וכך עושה המדע בחיפוש אחר חוקי-יסוד של הטבע שהם בעלי תוקף יותר ויותר כללי.

וכך, כשתיאר שרדינגר את החיים כמבוססים על מידע העובר מדור לדור, הוא ביטל למעשה את המחיצה בין מושג החיים למושג הספציפי יותר "חיים תבוניים." כי באוכלוסייה שחבריה מחליפים גנים ביניהם, "מאגר הגנים" הוא מוח לכל דבר: לומד, זוכר, מזקק מידע, ואפילו מכליל ומסיק מסקנות. תבונה היא אם כן חלק אינטגרלי מהחיים. בצורות המפותחות יותר היא רק מונחלת מרמת האוכלוסייה והמין אל רמת הפרט.

האם היה שרדינגר סומך ידיו על הרחבת מושג האנטרופיה השלילית כך שתכלול גם את מדדי המידע והמורכבות? תשובה חיובית עולה מנקודת הפתיחה המפורסמת שלו: האטום הבודד כפוף לאקראיות, אבל אטומים רבים מולידים חוקיות פיזיקלית. הוא התמקד אפוא במדד הסדר, ניגודה של האקראיות. המולקולה אותה ניבא היא גביש, לאמור חומר מסודר, אבל גביש לא-מחזורי, כלומר לא מסודר יותר מדי, אחרת יהיה דל במידע. רכיב של סדר קיים אפוא גם במידע, וכפי שראינו גם במורכבות. לכן קיים סדר חלקי גם בכל יצור חי ובגנום שלו. נזכור כי בעת שנשא שרדינגר הרצאות אלה, הייתה המולקולה נושאת המידע התורשתי רק חזון למועד. אילו היו לפניו במלוא הדרם ה-DNA, ה-RNA והריבוזום, האפיגנטיקה, הגן האנוכי והפנוטיפ המורחב, היה ללא ספק פורש גם מעליהם את היריעה המרהיבה של מתמטיקה, פיזיקה, כימיה וביולוגיה שארג יחדיו. גם שאלות הקשורות לחשיבה ולתודעה היו מקבלות מפנה חדש לאור שלל התפקודים החישוביים של האבולוציה ותהליכי החיים.

ט.   ומה הלאה? החתול שבתוכנו

ועוד מעגל הולך ונסגר בימים אלה. שרדינגר היה מחלוצי תורת הקוונטים, אבל חיבר את הספר הזה בתחום הביולוגיה. שני המדעים רחוקים זה מזה במובנים רבים. הראשון עוסק במצבם של חלקיקים בודדים, והשני בגופים גדולים המכילים מיליארדי מולקולות ענק. תורת הקוונטים – מסיבות שלא הובהרו כיאות עד היום – אינה חלה על גופים גדולים. ניגוד זה עמד כזכור ביסוד פרדוקס החתול: אטום בודד נמצא בסופרפוזיציה, כלומר במצבים שונים ואפילו סותרים. כשאטום זה יוצר אינטראקציה עם מערכת מאקרוסקופית, הוא מאבד את ייחודו הקוונטי ועובר למצב אחד בלבד בין המצבים האפשריים. אבל מה גורם למערכת המאקרוסקופית עצמה להיות במצב קלאסי ולא קוונטי? אולי העובדה שגם היא נמדדת ע"י הגופים סביבה, וכך הלאה גם הם, וכך ע"י היקום כולו? בניסוי המחשבה של שרדינגר נמצאים גם האטום וגם החתול בקופסה סגורה המבודדת אותם מכל היקום. עכשיו, תהה שרדינגר, האם יצליח האטום "להדביק" את החתול במצבו בלי לקרוס למצב הקלאסי?

השאלה עצמה טרם מצאה פתרון ניסויי, שכן בידוד מערכת גדולה משאר היקום אינו באפשרות הטכנולוגיה בת ימינו. אבל לחתול שאינו בקופסה מבודדת, התשובה ברורה: הוא יכול להיות רק חי או רק מת. במילים אחרות: האורגניזם, החם, הרטוב, הצפוף, אינו מאפשר את מצב הסופרפוזיציה המפורסם, כמו חלקיק בודד במעבדה העובר בלי הפרעה (למשל: בחושך ובוואקום) דרך מחיצה ובה שני סדקים. שונה המצב בתוך האורגניזם: כל חלקיק "נמדד" ללא הרף ע"י סביבתו הרוחשת, ולכן נותר במצב קלאסי. קל-וחומר שהאורגניזם כולו אינו יכול להימצא בסופרפוזיציה. לא ייפלא, אם כן, כי שנים רבות נחשד עצם המושג "ביולוגיה קוונטית" בשרלטנות, לא מעט בזכות מספר שרלטנים בפועל המתיימרים לרפא מחלות בשיטות קוונטיות.

והנה החל משנות השמונים של המאה הקודמת החלה הביולוגיה הקוונטית לתבוע לעצמה מעמד מדעי.[21] זאת כי התברר שבחללים זעירים ומבודדים בתוך התא החי יכולים חלקיקים, אף אטומים ומולקולות, להתקיים בסופרפוזיציה לזמן קצר. במקרה כזה, עקרונית, יכול האורגניזם לנצל את הסופרפוזיציה הקוונטית לייעול תהליכים מורכבים כפי שעושה הטכנולוגיה הקוונטית המודרנית.

נפתח ב-DNA שלנו. שרדינגר סבר שההיבט הקוונטי של מולקולה זו מסתכם בקפיצות הכימיות הדרושות להופעת מוטציות. אבל חוקרים העלו את האפשרות שה-DNA מנצל את תורת הקוונטים בדרכים אפילו יותר אקזוטיות, כגון מִנהוּר, לאמור היעלמות חלקיק ממקום אחד בחלל והופעתו במקום ואף בזמן אחר, או שזירה, שהיא צימוד קוונטי של שני אטומים או מולקולות כך שכל שינוי באחד מהם יתבטא מיד במשנהו. אלה עדיין ספקולציות, אבל מנגנון קוונטי כבר הודגם בצורה משכנעת בתהליך המכריע לקיום כל החיים עלי אדמות – הפוטוסינתזה. לכאורה אין קל מזה: מעט פחמן דו-חמצני הנפלט כפסולת מתהליכים רבים; מעט מים; מעט אנרגיית אור – והרי לנו פחמימה. פשוט? ההיפך הגמור! גם כיום, בתקופה בה ניתן לערוך DNA ולסנתז חלבונים, נותרה הפוטוסינתזה הרחק מעבר ליכולתה של כל ננו/ביוטכנולוגיה. ועדיין, כל גבעול יבלית מבצע אותה בקלילות ובלי הרף. ההשערה הרווחת כיום היא כי הכלורופלסט מצליח לשמור לפרק זמן קצר בסופרפוזיציה את הפוטון הנכנס אליו, ושסופרפוזיציה זו מועברת גם למולקולות המים והפד"ח בדרך "קוהרנטית." לאמור: הסופרפוזיציות שלהן מתפתחות באופן מקביל, מצב-מול מצב, בו-זמנית בדיוק. ההשערה אומרת אפוא – והיא עדיין טעונה הוכחה – שקוהרנטיות כזאת היא המאפשרת ללכוד את אנרגיית הפוטון ולהתמירה לאנרגיה הכימית הדרושה לקיום כל צורות החיים על פני האדמה.

זו הייתה רק ההתחלה. תהליכים נוספים, מהרחה ועד ניווט ציפורים, הצטרפו למחקר. אחרי הכל, הרי האבולוציה למדה לנצל מגוון תחומי פיזיקה: כימיה, מכניקה, חשמל, אופטיקה, אקוסטיקה, הידראוליקה ועוד. רק הגיוני הוא שגם תורת הקוונטים תצטרף לרשימה. וכפי הנראה, לא רק בתורת הקוונטים מדובר, אלא באותו יישום שלה שהאנושות עדיין מתאמצת להשיג: החישוביות הקוונטית. העניין פשוט: אם אפשר שסופרפוזיציה קוונטית תתקיים באופן קוהרנטי גם בתהליכי חישוב, אזי החישוב לא יהיה לינארי – כלומר ניסיון אחר ניסיון, אפשרות אחר אפשרות – אלא מקבילי, דהיינו: אפשרויות רבות ייבחנו בו-זמנית. יחידת המידע תהיה לא ה"ביט" מתורת המידע הקלאסית אלא ה"קיוביט" שהוא סופרפוזיציה של ביטים. נקל להבין שחישוב כזה יוכל לעלות ביעילותו בהרבה על החישוב הרגיל, ומכאן החשיבות הגדולה למחקר החישוב הקוונטי בימים אלה. אם הפוטוסינתזה היא קוונטית, הרי שאפילו הכלורופלסט שבתוך תא הצמח הוא מחשב קוונטי זעיר.

מאליה נשאלת השאלה: האם משמשים אפקטים קוונטיים גם במחשב הביולוגי המשוכלל ביותר – מוח האדם? שרדינגר, כזכור, הוטרד משתי בעיות הקשורות במוח: הבעיה הפסיכופיזית ושאלת חופש הרצון. שמא גם בתוך הנוירון או הסינַפְּסה יכולה להתקיים צומת תת-אטומית שבה, בדומה לקפיצות הכימיות ב-DNA, תורמים אפקטים קוונטיים לפעולת המוח כולו? השערות רבות כאלה הועלו במרוצת השנים. חתן פרס נובל וולפגנג פאולי (Pauli, 1900-1958) כתב ספר עם קרל גוסטב יונג (Jung, 1875-1961) ובו ניסיון מעורפל להסביר תופעות פאראנורמליות על סמך תורת הקוונטים.[22] יוג'ין ויגנר (Wigner, 1902-1995) אף הוא חתן פרס נובל, העלה, בפרפראזה על החתול של שרדינגר, את פרדוקס "החבר של ויגנר." גם בניסוי זה יש אטום רדיואקטיבי הנתון בסופרפוזיציה של התפרק וטרם-התפרק. מצבו של האטום נמדד ע"י חברו של ויגנר שיספר לו מאוחר יותר את התוצאה. האם גם החבר היה בסופרפוזיציה עד ל"מדידה" של ויגנר עצמו? ויגנר בחר למנוע אפשרות מגוחכת זו בהשערה שאותה תכונה ייחודית של נפש האדם (ואולי גם של החתול) הקרויה תודעה היא המונעת את קיומם של מצבים קוונטיים בגופים הגדולים שסביבנו, בניגוד לאטומים ולחלקיקים.

לא ייפלא כי רעיונות נועזים אלה לא התקבלו בקהילה המדעית, ובשל טבעם המעורפל לא יכלו לעמוד למבחן ניסיוני. מודלים מהשנים האחרונות ניתחו את פרטי מערכת העצבים, כפי שעשה שרדינגר עם הכרומוזום, כדי לאתר אותו חלק היכול להיות נתון להשפעות קוונטיות. הבולט בניסיונות אלה הוצע בידי חתן פרס נובל רוג'ר פַּנרוֹז (Penrose, נולד 1931) והרופא סטיוארט המרוף (Hameroff, נולד 1947). בסדרת מחקרים מפורסמת טענו השניים (כשפנרוז מסתמך גם על אינטרוספקציה לתגליות מתמטיות שלו עצמו) שפעולות יצירתיות של המוח אינן ניתנות להדמיה במחשבים הקיימים, הפועלים על עקרונות קלאסיים. לכן שיערו כי המוח מסתייע גם באפקטים קוונטיים המתקיימים בצינורונים (microtubules) שבתוך הנוירון. גם למודל זה מעטים התומכים.

גישה חדשה לתורת הקוונטים, הפורמליזם הדו-וקטורי, שפותחה בידי יקיר אהרונוב (Aharonov, נולד 1932),[23] העניקה לשאלה זו מפנה פורה. יודגש כי המדובר בפורמליזם המתחייב מהפורמליזם הקיים, ועדיין מצליח לגזור ממנו ניבויים מפתיעים, שכבר אוששו במעבדות ברחבי העולם. 

נפתח ביסודות. כל אינטראקציה פיזיקלית יכולה להיות מתוארת ע"י שתי היסטוריות, אחת מתקדמת מהעבר אל העתיד והשנייה בכיוון ההפוך. מסלול קליע התותח, למשל, ניתן לחישוב גם אחורנית, ממקום פגיעתו, והוא יוביל כמובן אל לוע התותח עצמו. בפיזיקה הקלאסית, בה שולטים הסיבתיות והסימטריה בזמן, שתי היסטוריות כאלה הן חופפות, ולכן הגרסה המהופכת היא מיותרת. שונה הדבר בתורת הקוונטים. כאן, יחסי סיבה-תוצאה יכולים ממש להתהפך בזמן, שכן מדידה משפיעה לא רק על מצב העתיד של החלקיק אלא גם על מצבו בעבר![24] הבנה זו מניבה מיד רווח: שני החישובים של מסלול החלקיק – מהמקור ממנו נפלט אל מקום הפגיעה, ולהיפך – נגועים באי-ודאות. מסקנה: החישוב השני מוסיף ומשלים על הראשון!

במה כל זה רלוונטי לפעולת המוח? כדי לשער קשר בין הקוונטי והנפשי יש להתמודד תחילה עם עוד היבט פיזיקלי חשוב של המוח, שבאופן מוזר הוזנח עד כה למרות שהוא נמצא בתחום הקלאסי. המוח הוא המערכת המסובכת ביותר הידועה למדע. מורכבות קיצונית זו מציבה גבול פיזיקלי עקרוני, בדומה למהירות האור או ליעילות מנוע קרנו (פרק ‎ג לעיל). זהו גבול השכפול. ניתן ליצור העתק של אטום, מולקולה, ואולי אפילו תא חי. האם אפשר לשכפל מוח כלשהו עם כל התכנים והפעולות המתרחשות בנוירונים שלו? די בחישוב גס כדי להראות שהאנרגיה הדרושה לכך (בהסתמך על הקשר בין מידע לאנרגיה העולה משדון מקסוול, פרק ‎ו לעיל) גדולה מזו שניתן לרכז במקום אחד בלי שייווצר חור שחור. עתה, אם ניזכר ש"הסתברות," בהגדרתה, חלה על צברים של עצמים שהם זהים בתכונה מסוימת, המסקנה פשוטה: אם יש מערכת שבאופן עקרוני אינה ניתנת לשכפול, לא חלים עליה חוקי ההסתברות. מגבלה זו פותחת פתח חדש להבנת פעולת הנפש. נניח לרגע, והדבר כאמור טעון הוכחה, כי גם המוח, כמו מערכות ביולוגיות אחרות, מסוגל לקיים בתוכו מצבי סופרפוזיציה שניתן לנצל לצרכיו. סופרפוזיציה מוחית זו שונה באופן עקרוני מהסופרפוזיציה החלקיקית מעצם העובדה שחוקי ההסתברות אינם חלים עליה. זאת ועוד: זהו מקרה ייחודי שהמערכת המודדת והנמדדת הן אחת – מצב שתורת הקוונטים טרם חקרה כיאות. דרושה אם כן גישה אחרת להבנת פעולתו הקוונטית האפשרית של המוח.

נשוב אפוא אל שאלת חופש הרצון. בפיזיקה הקלאסית, חופש זה הוא רק אשליה. אני מרגיש שעשיתי פעולה כלשהי מרצוני החופשי, אבל פעילות המוח שגרמה לפעולה זו כפופה לחוקי הפיזיקה בדיוק כמו כל מכונה, מסובכת ככל שתהיה, ולכן סיבות הפעולה נעוצות באינספור אירועים זעירים בתאי המוח שכלל אינם ידועים לי. תורת הקוונטים, שהדיחה את הסיבתיות הקלאסית לטובת הסתברויות, רק עושה את המצב גרוע יותר מבחינת הרצון החופשי: אני כבול לא לאירועים סיבתיים בתאי מוחי, אלא לאירועים אקראיים – מן הפח אל הפחת!  

והבעיה תחמיר עוד בצעד השלישי, אל הפורמליזם הדו-וקטורי של תורת הקוונטים. כאן, לכאורה, נתון חופש הרצון בסד כפול: כל אירוע במוח מושפע, בגבולות אי-הוודאות הקוונטית, מאירועי עבר, אבל גם מאירועי עתיד (לפחות אירועים כאלה שיתרחשו במוח עצמו בזמן הקרוב). מה נותר בין השפעות אלה לחופש כלשהו?

ההפתעה צפונה בהיפוך המוזר של כיוון הסיבתיות. השפעת המדידה הקוונטית פועלת בשני כיווני הזמן, הן על רגעי העתיד של החלקיק והן על רגעי העבר שלו. בעולמנו המאקרוסקופי, השפעה-לאחור כגון זו תוביל לפרדוקסים הידועים מסוג "להרוג את סבא בילדותו," אבל ברמה הקוונטית, אפקטים כאלה יכולים להתקיים בלי סתירה פנימית. אם – וכאמור זה "אִם" גדול – גם המוח מבצע מדידות עצמיות על מצבים קוונטיים בנוירונים או בסינפסות שלו, באופן המשפיע גם על אירועים זעירים קודמים ולא רק עתידיים, שמא תביא תורת הקוונטים אישוש לאמרת פרקי אבות "הכל צפוי והרשות נתונה"?[25]

י.      חיים: מהות וערך

ישעיהו ליבוביץ (1903-1994) הפריד תמיד בין מהות לערך. גם על החיים נהג לומר כי אין קשר בין מהותם, שהיא נושא למחקר, לבין ערכם, שהוא עניין לחוק ולמוסר. אולי אין סיום ראוי יותר מאשר לבחון מחדש דיכוטומיה זו, ומה שאירע לשני פניה בכמעט מאה השנים מאז אותן הרצאות בדאבלין.

אכן כמה מהפכות עברו במאה זו על מדעי החיים, אבל כולן כאין וכאפס לעומת התהפוכות שעברו, בהרף-עין זה ולנגד עינינו ממש, על מכלול החיים עצמם עלי אדמות. זו פעם ראשונה שסכנה ממשית נשקפת לביוספרה כולה, כולל "נזר הבריאה" המחולל אותה: קטסטרופה אקלימית ממשמשת ובאה, הכחדת מינים דוהרת שכמותה לא הייתה מזה כשישים מיליון שנה, כילוי וזיהום משאבי טבע, הרס סביבות חיים ביבשות ובאוקיאנוסים – כל אלה מזכירים לנו כי לחיים מטבעם יש התחלה וסוף, ולא-אחת מביא האורגניזם עצמו את סופו, אף ברמת המין כולו.

משנה חריפות מקבלת השאלה מקריאת ספר זה. הרי מתחילתו ועד סופו, מתבסס "מה הם החיים?" על החוק השני של התרמודינמיקה, החוק שמזה למעלה מארבע מיליארד שנה משגשגים החיים על כדור הארץ בכפוף לו. את המחיר שתובע החוק הזה מהביוספרה, על המורכבות האדירה שיצרה במגוון מרהיב של יצורים, היא אכן משלמת, מזה כארבע מיליארד שנה, בהעלאת האנטרופיה, אבל אנטרופיה זו הייתה עד כה, כמעט כל כולה, חום הנפלט עד תום לחלל החיצון. בהקדמה למהדורה האנגלית של "מה הם החיים?" מצביע פַּנרוֹז על פליטת חום זו כהמחשה לדינמיקה שתיאר שרדינגר: הקרינה המגיעה מהשמש מורכבת ממספר מסוים של פוטונים עתירי אנרגיה, שהם גלים קצרים. לעומת זאת, בקרינה הנפלטת לחלל, יש מספר גדול בהרבה של פוטונים מעוטי אנרגיה, לאמור בעלי אורכי-גל גדולים. הביוספרה, אם כן, כמו האורגניזם הבודד, משגשגת בזכות הזנת אנטרופיה שלילית מהשמש, בעוד האנטרופיה החיובית מסולקת החוצה אל החלל.

זה לפחות היה המצב עד לא מזמן. מה שעושה הציוויליזציה כיום, בקלות-דעת פושעת, הוא היפוכו של תהליך זה. לא זו בלבד שהרבה מהאנטרופיה שהאנושות יוצרת היא פסולת בלתי-ניתנת למִחזור הנערמת בכל מקום על הפלנטה, אלא שהזיהום פוגע גם ביכולתה של האטמוספרה לשחרר לחלל את קרינת החום המתחייבת, ואף זו הולכת ומצטברת בתוכה. לא ייאמן, אבל ממשלות ומדינות ברחבי העולם מנסות להתכחש לאותו חוק בו ראו איינשטיין ואדינגטון (פרק ‎ג לעיל) חוק יסוד של היקום! גם לא מקרה הוא שהכחשת אחריות האדם לשואת האקלים חופפת במידה רבה להכחשת תורת האבולוציה ולעוד מגמות אנטי-מדעיות הנוגפות לאחרונה את תרבות המערב. פאנדמיית ה-Covid, בה לימד וירוס זעיר לקח לאנושות בדמות האטה כואבת וקורבנות רבים בנפש וברכוש, חשפה בעיקר את חולשותיהם של משטרים טוטליטריים האמונים על התכחשות לעובדות. כמימי קדם כן עתה: בערות מזינה ברבאריות.

מחקר עץ הדעת הגנטי הביא לאנושות שפע ברכות, אבל גם סכנות הולכות וגדלות. סילוק גֶן קטלני מעובָּר, ואפילו מגוף אדם בוגר, נושא תקווה למניעה ואף ריפוי של מחלות נוראות, אבל מניפולציות גנטיות באדם עלולות להביא דורות של תינוקות מתוכננים על פי בחירה קפריזית, בדומה לבחירת גזעי כלבים וחתולים על פי טרנדים אופניים, או למצער, להופעת המקבילה האנושית לעגבנייה מהונדסת עם חיי מדף ארוכים.[26] ההנדסה הגנטית היא כבר עובדה בחקלאות ובביוטכנולוגיה, אבל אין להקל ראש בסכנת השחרור לטבע של מינים הרסניים, ובוודאי לא בהתערבויות בגנום האדם בנימוקי "חירות הפרט." למעשֶׂיהָ של כל ממשלה, ואף של כל ארגון עתיר ממון, יש כיום השלכות על גורל האנושות כולה.

ואם גילוי ה-DNA היה מהפכה, כיום עומדת הביולוגיה בצל מהפכה נוספת. לא רק שחייבים אנו לדעת את מקומנו כאזרחים בביוספרה, גם בתוך גופנו איננו בעלי הבית היחידים! סברנו עד עתה שהגנום הוא הקובע את תכונותינו הביולוגיות, והנה מתברר שלגנום זה יש שותף מכריע, הוא הבִּיוֹם, אוכלוסייה ענקית של מיקרואורגניזמים – חיידקים, פטריות, וירוסים ועוד – הנוטלים חלק פעיל בתהליכי גופנו. משקלם הכולל הוא פחות מעשירית ממשקל גופנו, אבל מספר התאים החיים הללו גדול ממספר תאינו פי עשרה! ובהיותם עוברים מהורים לצאצאיהם ע"י הדבקה, הריהם גנום לכל דבר ועניין, שרק עתה מתחילה הרפואה ללמדו ולהעריכו.[27] 

ומה מחוץ לפלנטה? האסטרונומיה והקוסמולוגיה הרחיבו לאין שיעור את היקום בו מתקיים גרגר האבק בדמות גלקסיית שביל החלב, ומולו מתחזקת התעלומה הגדולה מכל: האם בודדים אנחנו בתוך ממדים בלתי-נתפסים אלה של חלל וכוכבים? מי יודע כמה עוד מערכות חומר ואנרגיה מופלאות ומרהיבות, סוּפר-ביוספרות וציביליזציות-על, מציבות בחריפות גדולה פי כמה את השאלה "מה הם החיים" והשאלות הנלוות לה: איזה מדע יש לצורות חיים אלה? איזו קוסמולוגיה ופילוסופיה, איזו תפיסת מציאות?

שרדינגר היה בראש ובראשונה פיזיקאי, שהמפגש עם הפרדוקסים שהניבה התורה החדשה גרם לו לנדוד לפעמים אל מחוזות הפילוסופיה והקלאסיקה. נזכור אם כן כי גם כיום, השאלות הגדולות של הפיזיקה, ובהן אלה הקשורות בטבע החיים, עדיין פתוחות. טרם הוכרעה, למשל, שאלת מקורו של "חץ הזמן" התרמודינמי. האם הוא קשור לתנאים הייחודיים של "המפץ הגדול" כדעת סטיבן הוקינג (Hawking, 1942-2018), או שמא, כדעת המיעוט של פַּנרוֹז, קיימת אסימטריה קוונטית זעירה המסתתרת בכל אינטראקציה? ומתי תימצא תורת השדה המאוחד? והאם שאלת הקשר בין התודעה לבין החומר תישאר תמיד בתחום הפילוסופיה? למרות ששרדינגר היה אתאיסט, הרבָּה לצטט מדתות המזרח, וכמותן האמין כי קיימת תודעה יקומית אחת שכל התודעות האינדיווידואליות הן רסיסים ממנה. קל לפטור מחשבות אלה כתעתועים מיסטיים, אבל הדין עם דארווין שכתב ביומנו: "מוצא האדם התגלה – המטפיזיקה חייבת לפרוח." וכן: "הוא אשר מבין את הבבון, יתרום למטפיזיקה יותר מאשר [ג'והן] לוֹק." אפשר, בהכללה, שהביולוגיה אינה רק מתבססת על הפיזיקה אלא יכולה לתרום להבנת יסודותיה.

גם ויגנר דיבר בנימה דתית על החידה שהעסיקה את אפלטון: "נס ההתאמה של שפת המתמטיקה לניסוח חוקי הפיזיקה הוא מתנה נפלאה שאיננו מבינים ואף איננו ראויים לה."[28] קל וחומר לגבי יכולתם של החיים לנצל התאמה זו. האנטרופיה, כיליון החיים, היא גם אמם הורתם, כי האבולוציה מפנה את כוח ההרס שלה נגד עצמה. מחד, האנטרופיה היא המכניסה ל-DNA "רעש" תמידי של מוטציות, ומאידך, היא גם המשמידה את רובם המכריע של נושאי המוטציות שיצרה. כך נותרים רק מתי-המעט שהתמזל מזלם שדווקא האקראי, העיוור, חנן אותם במידע יותר ויותר מדויק על הקבוע והסיבתי, לאמור העולם וחוקיו. על הדעת עולים דברי החידה של מפיסטופלס:[29]

חֶלְקוֹ שֶל כֺּחַ בַּתֵּבֵל
תָּמִיד שוֹאֵף אֶל רָע, תָּמִיד אַךְ טוֹב פּוֹעֵל.

שתי נשים, חתול חי בחלקו, וּקְוַנְט של תודעה מאת צבי עצמון

שרדינגר עושה חיים: שבוע בטירול, אוגוסט 2005.

אני מודה לפרופ' יקיר אהרונוב, פרופ' נדב שנרב, פרופ' אבישי כרמי, פרופ' אליהו כהן, דוד אגמון, ד"ר דורון גרוסמן, ד"ר קובי בן ברק, פרופ' אהוד גזית, וכן לשני המתרגמים המסורים ולעורך הלשוני המלומד על הערותיהם המאלפות.

[1] Newton, I. (1686, Motte, A. Trans. 1803)  Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (The Mathematical Principles of Natural Philosophy) (1803), Book III, Rule 1.

[2] Elitzur, A. C. (1995) Life and mind, past and future: Schrodinger's vision fifty years later. Perspectives in Biology and Medicine 38, 433-458.

[3] אליצור, א. (2006) שרדינגר עושה חיים. קשת החדשה 17, עמ' 26-41. עורך אהרן אמיר. ספרות עכשיו.

[4] Schrodinger, E. (1996) Nature and the Greeks and Science and Humanism. Cambridge University Press.

[5] Schrodinger, E. (1958) Mind and Matter. Cambridge University Press.

[6] נוסיף גם כי לכשימות החתול בשיבה טובה, יתרחש המוות בסדר ההפוך: תחילה המוות הקליני המוחי, אחריו המוות הביולוגי, בתאים שימשיכו עדיין לתפקד עצמאית, ולבסוף ברמה הכימית של התפרקות החלבונים.

[7] זו כידוע הסיבה שמשרדי פטנטים פוסלים על הסף הצעות לבניית פרפטואום מובילה ליצירת אנרגיה יש מאין, רק על סמך הניגוד לחוק הראשון או השני של התרמודינמיקה.  

[8]  A. Einstein, (1949) Autobiographical Notes, in P.A. Schilpp, [Ed.]. Albert Einstein: Philosopher-Scientist. Tudor Publishing Co., p. 33.

[9] A. S. Eddington (1948) The Nature of the Physical World. Cambridge University Press. p. 37.

[10] ראינו, למשל, שכל מערכת העושה עבודה כלשהי, בלי קשר לסוג החומר והאנרגיה מהם היא עשויה או ניזונה, חייבת לפלוט חום. הנה אם כן ניבוי בטוח לכל צורת חיים או ביוספרה שתתגלה אי פעם ביקום! זאת ועוד: צילום אינפרא-אדום של אורגניזם מראה בדיוק מאיזה חלק נפלט מקסימום החום ממנו באותו רגע, ומסיבה זו מתבלט בצילומים כאלה מוח החיה כקורן במיוחד. אלה הן דוגמאות ליכולתה של התרמודינמיקה לבאר מצבים מורכבים בלי ידיעת פרטיהם.

[11] נוכל להקפיד יותר ולייחד כל הגדרה להיבט אחר. "סדר" הוא המדד המתמטי של ה"אנטרופיה" בפיזיקה. "סיבוכיות" תהיה לפיכך המדד המתמטי של ה"מורכבות" כתופעה פיזיקלית. לצורך הפשטות נשתמש רק במונח השני.

[12]  Bennett, Charles H. (1988), Logical Depth and Physical Complexity, in Herken, Rolf [Ed.], The Universal Turing Machine: a Half-Century Survey, Oxford U. Press, pp. 227–257.

[13] כאן, ובאופן הראוי להעמקה נוספת, משתלבת תורת הכאוס. ראו: נאמן, י. (1999) סדר מן האקראי: המדע וחברת האדם בתורת התפתחות מוכללת. ון-ליר.

Kauffman, S. A. (1993) The Origins of Order: Self-organization and Selection in Evolution. Oxford University Press.

[14] למעשה, גם הסדרה הקודמת, הקבוע פַּיי, נושאת מידע חשוב מאין כמותו: הוא רלוונטי לכל גוף עגול או כדורי ביקום. הקשר בין מורכבות ומידע יעמיק בהמשך.

[15] אנתולוגיה מרתקת של מגוון מאמרים בנושא:

Leff, H. S. & Rex, A. F. [Eds.] (2002). Maxwell's Demon 2: Entropy, Classical and Quantum Information, Computing. CRC Press.

[16] נדמיין שבט ארנבות שנקלע לארץ מכוסת שלג תמיד. צבען החום הוא להן לרועץ, וכל הטורפים עושים בהם שמות. נניח שהופיעה מוטציה של צבע פרווה בהיר רק במעט, כך שבאופן סטטיסטי הוא מקנה לארנב רק עשר דקות חיים נוספות. מובן שמוטציה זו חסרת ערך ברמת הארנב הבודד, שהרי גם ארנב אלבינו עלול להיטרף עם הגיחו מהמאורה, ומלאניסט (שחור מעודף מלאנין) בר-מזל עוד יספיק להתרבות. אבל שאלו חברת ביטוח והיא תאמר לכם כי אם יהיה עליה לעשות ביטוח חיים למיליוני ארנבות, היא תרוויח הרבה מהעדפת בעלי יתרון זעיר זה. ואכן, אם תספיק המוטציה להתרבות למספרים גדולים, יפעל כלל השורש הריבועי של שרדינגר, היא תשתלט על האוכלוסייה ותגדיל את הסיכויים למוטציה נוספת.

[17] לורנץ, ק., קרויצר, פ. (1984) חיים הם לימוד: מקאנט עד לורנץ. תרגום: זאב שילה. הוצאת פועלים.

[18] מבין שבעה מיני ציקדות מהסוג magicicada בצפון אמריקה, לארבעה מינים יש מחזור חיים של 13 שנה ולשלושה מחזור של 17. הדעת נותנת כי כל מיני ה-13 התפתחו מאב-קדמון אחד, ומיני ה-17 מאב אחר, נכון? לא: שלוש פעמים, באופן בלתי-תלוי, התפצל מאחד ממיני ה-13 מין נפרד שמחזור חייו ארוך יותר בארבע שנים.

[19] Thompson, D. W. (2017) On Growth and Form. Cambridge University Press. https://www.gutenberg.org/files/55264/55264-h/55264-h.htm

[20] Popper, K. R. (1972) Objective Knowledge: An Evolutionary Approach. Oxford University Press. P. 261. 

[21]  Lambert, N. et al. (2013) Quantum biology. Nature Physics 9, 10-18.

[22]  Jung, C. G., Pauli, W. E. (1955) The Interpretation of Nature and the Psyche: Synchronicity: An Acausal Connecting Principle, and The Influence of Archetypal Ideas on the Scientific Theories of Kepler. New York: Pantheon.

[23]  Struppa, D., Tollaksen, J. [Eds.] (2014) Quantum Theory: A Two-Time Success Story. Springer.

[24] אפילו החתול של שרדינגר זכה לתפנית מפתיעה בגישה זו, במאמר של אהרונוב וחב' שהראה שבחירה נכונה של מדידה בעת פתיחת הקופסה יכולה להפוך חתול לחי. וריאציה קוונטית אחרת נעשתה לחתול מצ'שייר, בניסוי שהראה שחלקיק יכול לעבור במסלול אחד בעוד תכונה כלשהי שלו, כמו הספין, נעה לבדה במסלול אחר.

[25] אהרונוב, י., ושטרן, ע. (2021) ריאיון עם פרופ' יקיר אהרונוב חבר האקדמיה. https://www.youtube.com/watch?v=AiYdhFrQB04

[26] גראור, מינה ודן (1992)  אאוגניקה: השבחת האיכות התורשתית של האדם. הביוספרה המשודרת.

[27] הנה למשל התגלית האחרונה בדבר בִּיוֹם תאי סרטן הנבדל מהתאים הבריאים:

Chen, Y. et al., (2022) The role of the tumor microbiome in tumor development and its treatment. Front. Immunol. 13: 935846.

[28] Wigner, E. (1960) The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences. Communications in Pure and Applied Mathematics, 13/1, 1-14.

[29] י. ו. גתה (1832/2006) פאוסט, תרגם יצחק כפכפי. מתוך: לורנץ, ק. (1969) הרע לכאורה: על התוקפנות בטבע. הקיבוץ המאוחד, ע' 31.